问题
探索发现 如图 (1)$E$, $F$, $H$ 是正方形 $A B C D$ 边上的点, 连接 $B E$, $C F$ 交于点 $G$ 、连接 $A G$, $G H$, $C E=D F$.
(1) 判断 $B E$ 与 $C F$ 的位置关系, 并证明你的结论;
(2) 若 $C E=C H$, 求证: $\angle B A G=\angle C H G$.
迁移拓展 如图 (2), $E, F$ 是菱形 $A B C D$ 边 $A B$, $A D$ 上的点, 连接 $D E$, 点 $G$ 在 $D E$ 上, 连接 $A G$, $F G$, $C G$, $\angle A G D=\angle B A D$, $A F=A E$, $D F=G F$, $C D=10$, $C G=6$, 直接写出 $D F$ 的长及 $\cos \angle A D C$ 的值.
解答
(1)$BE\bot CF$,因为$DF=CE$,$\angle FDC=\angle ECB=90^{\circ}$,$DC=CB$,所以$\triangle DCF\cong \triangle ECB$,故$\angle DCF=\angle CBE$,所以$\angle CBE+\angle BCG=\angle DCF+\angle BCG=90^{\circ}$,因此$BE\bot CF$
(2)由(1)得$\angle HCG+\angle CBG=\angle CBG+\angle ABG=90^{\circ}$,所以$\angle HCG=\angle ABG$,又因为$\dfrac{AB}{HC}=\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{BG}{GC}$,那么$\triangle ABG\sim \triangle HCG$,所以$\angle BAG=\angle CHG$
(3)因为$\angle AGD=\angle EAD$,则$\triangle DAG\sim \triangle DEA$,所以$\angle FAG=\angle AED=\angle CDG$,$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AG}{DG}$
又因为$$\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AG}{DG}$$
所以$$\triangle FAG \sim \triangle CDG$$
所以$$\dfrac{AF}{FG}=\dfrac{CD}{CG}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$$
故$\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{5}{3}$,因此$DF=10\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{4}$
如图,连接$CF$,过$F$作$FX\bot CD$于$X$,过$F$作$FY\bot CG$于$Y$,设$\angle FDG=\angle FGD=\alpha$,则$\angle DCG=\angle AFG=2\alpha$,所以四边形$CDFG$对角互补,即$C$、$D$、$F$、$G$四点共圆,又因为$DF=FG$,所以$\angle DCF=\angle GCF$,所以$FX=FY$,则
$$Rt\angle FDX\cong Rt\triangle FGY$$
所以$$DX=YG=\dfrac{1}{2}(CD-CG)=\dfrac{1}{2}(10-6)=2$$
故$$\cos \angle ADC=\dfrac{DX}{DF}=\dfrac{2}{\dfrac{15}{4}}=\dfrac{8}{15}$$
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