勾股定理及其证明

勾股定理

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。勾股定理的别称有很多：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”

如果直角三角形两直角边长度分别为$a$和$b$，斜边长度为$c$，那么$a^2+b^2=c^2$。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前$550$年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（命题$47$）中给出一个很好的证明。

欧几里得证法

$$S_{ABDW}=2S_{\triangle AWC}=2S_{\triangle ABP}=S_{APYX}$$

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”

商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形’矩’得到的一条直角边’勾’等于$3$，另一条直角边 ‘股’等于$4$的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是$5$。

勾广三，股修四，径隅五

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前$1100$年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾$3$、股$4$、弦$5$，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元$50$⾄$100$年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

赵爽：勾股圆方图

$$\begin{array}{l}
\because \quad (b-a)^2+\dfrac{1}{2}ab\times 4=c^2 \\
\\
\therefore \quad a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

刘徽：青出朱入图

青出=青入，朱出=朱入

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到勾股定理的某些特例。据说古埃及人也曾利用“勾三、股四、弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为$3$、$4$、$5$的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前$2000$年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为$ 30$个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下$6$个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为$3:4:5$三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从$1$到$15$的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着$15$组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

达芬奇证法

$$\begin{array}{l}
\because \quad a^2+b^2+\dfrac{1}{2}ab\times 2=c^2+ \dfrac{1}{2}ab\times 2 \\
\\
\therefore \quad a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

美国总统伽菲尔德证明勾股定理的故事也颇具色彩，$1876$年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在⼲什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为$3$和$4$，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是$5$呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为$5$和$7$，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于$5$的平方加上$7$的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

总统法

$$\begin{array}{l}
\because \quad \dfrac{1}{2}(a+b)\times (a+b)=\dfrac{1}{2}c^2+\dfrac{1}{2}ab\times 2 \\
\\
\therefore \quad (a+b)^2=c^2+2ab \\
\\
\therefore \quad a^2+2ab+b^2=c^2+2ab \\
\\
\therefore \quad a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

勾股定理迄今为止大约有$500$种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，国外的Loomis撰写的《The Pythagorean Proposition》一书中搜集了$367$种不同的证法，不过里面的证法有一些本质上是相同的，个别证法甚至错误

国内的李迈新编著的《挑战思维极限勾股定理的$365$种证明》一书，收录了$365$种不同的证明方式。

勾股定理与高考题：“罪大恶极”的数学家——潘承彪（作者：萨苏）

谈到数学家，有位朋友提起了山东大学老校长潘承洞先生，问我是否了解。老实说，我对潘承洞先生是只闻其名，未见其人。但关于潘先生，倒不是完全没的可说，可以泄漏一个堪称中国数学界“罪大恶极”的秘密。不过，这个“罪大恶极”的主角，并不是潘承洞先生，而是潘承洞先生的弟弟，潘承彪先生。

数学界父子传承的不在少数，但兄弟都在这个领域做出出色成就的倒不是特别多，至少我所听说过的，也就是潘先生两兄弟了。这可能是数学这玩意儿太累脑子，对先天要求比较高，家里偶尔出一个干这个的还行，连续放卫星未免要求太高。两位潘先生都在解析数论方面有着出色的成就，堪称双璧。

不过，我要说的并非潘先生的成就，而是他在数学界一个“罪大恶极”的秘密，他干的这件事，相信到现在还有不少人记得，只不过找不着正主儿是谁。

潘先生温文尔雅的人，怎么会做出“罪大恶极”的事情来呢？嘿嘿，这就是教育部的问题了。教育部找了潘先生去出高考题。

中国的高考，习惯是找学科权威来出题的。实际上，我觉得这根本没有道理。因为学科权威的本领在专，在精，对于中学教育那就擀面杖吹火– 一窍不通。实证就是科学院数学所的孩子们没一个敢找自己老爹辅导数学的 – 我们都知道那肯定是越讲越糊涂。

但是，孩子都明白的道理，教育部它不明白！

于是，出高考题，它不找高中的模范教师来做，却找到了潘教授，当然高考出题是很多教授一起来的，潘教授只出了一道题– 也还好是只出了一道题。可以想象，刚跟一帮杠头PK完歌德巴赫猜想，忽然让他给小孩子们出题，不出乱子那才怪呢。

那一年，考数学的孩子们都嘬了牙花，有愁眉苦脸的，有咬牙切齿的，有目瞪口呆的，有满地找牙的——找了牙准备咬出题的一口。所有的这些学生，都是卡在了潘先生这道题上。这道题答对了的只有不到$1\%$。

是太难么？那倒不是，潘先生算是有自知之明的人，他知道不能拿微分方程折腾孩子们，自己知道不能出这么难的。那出什么好呢？他琢磨着越简单越好吧。就出了一道特别简单的题。

那就是：请叙述并证明勾股定理。

对高考的学生来说，这实在太简单了，就是因为太简单了，根本没有几个学生还记得这东西怎么证。勾股定理么，简直象地球是圆的那么自然么。但是……证明？这东西还要证明么？！

就是啊，你证明一下地球是圆的吧……

十年寒窗，苦苦的猜题，弄出来这样一道令人目瞪口呆的东西。下来以后，学生老师没有不骂的 – 这谁呀，出这种题。

那些天，潘先生就总是有些灰溜溜的，对议论高考的人很敏感，而且经常打喷嚏。估计他嘱咐了不少人，所以，至今还时而听到有人印象深刻的提起这道“罪大恶极”，坑了全国$99\%$考生的怪题，却从来没听到谁说得清它的出处。

时隔二十年再揭这个谜底，潘先生应该不会反对了吧。相信当年的学生们也早就想开了——反正。。。大伙儿都挂了，又不是我一个……