夹半角模型

1. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，求证：$MN=MB+ND$．

   

2. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，求证：$MA$平分$\mathrm{\angle }BMN$，$NA$平分$\mathrm{\angle }MND$．

   

3. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，求证：$CM\cdot CN=2BM\cdot DN$．

   

4. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，求证：$AM\cdot AN=\sqrt{2}AB\cdot MN$．

   

5. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，求证：$E{F}^2=B{E}^2+D{F}^2$．

   

6. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，求证：$BF\cdot DE$是定值．

   

7. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，连接$MF$，求证：$\mathrm{\angle }AFM={90}^{\circ }$．

   

8. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，连接$MF$，求证：$CM=\sqrt{2}DF$，$ND=\sqrt{2}BE$．

   

9. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，连接$MF$，求证：$MN=\sqrt{2}EF$．

   

10. 如图，正方形$ABCD$中，$\mathrm{\angle }MAN={45}^{\circ }$，$M$、$N$分别在$BC$、$CD$上，连接$BD$，分别交$AM$、$AN$于$E$、$F$，连接$MF$，求证：$S_{\mathrm{△}AMN}=2S_{\mathrm{△}AEF}$．