【小奥】问题64 正方形和长方形的面积和

问题

如图，四边形$ABCD$是长方形，四边形$DEFG$是正方形，且$\angle GAD = \angle DCE = 45^{\circ}$，$AG = 10$，求长方形$ABCD$和正方形$DEFG$的面积之和

解析

如图，构造弦图，连接$AC$、$GE$

因为$\angle GAD = \angle DCE = 45^{\circ}$，所以

$$AX=DX=YE$$

$$CY=YD=XG$$

故$XY=AG=10$，且四边形$ACEG$是平行四边形。

所以

$$\begin{aligned}
S_{ABCD}+S_{DEFG} &= 2S_{\triangle ADC}+2S_{\triangle GDE}\\
&=2(S_{\triangle ADC}+S_{\triangle GDE}) \\
&=2\times \dfrac{1}{2}S_{ACEG} \\
&=S_{ACEG} \\
&=10\times 10 \\
&=100
\end{aligned}$$