毕克定理及其证明

毕克定理指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为$S=N+\dfrac{L}{2}-1$，其中$N$表示多边形内部的点数，$L$表示多边形落在格点边界上的点数，$S$表示多格点边形的面积。格点分为两种，一种是正方形格点，一种是三角形格点。

(1)正方形格点：$S=(N+\dfrac{L}{2}-1)\times S_{\square}$

(2)三角形格点：$S=2\times (N+\dfrac{L}{2}-1)\times S_{\triangle}$

证明

(1)正方形格点：连接最近的三个格点，将格点多边形分割成$n$个小三角形，由等积变形可知每个小三角形的面积相等，都是$\dfrac{1}{2}S_{\square}$

这$n$个小三角形的内角和是$180^{\circ}\times n$，另一方面，所有的内角和可以看成内部$N$个周角和边上$L$个点组成的$L$边形的内角和，故

$$180^{\circ}\times n=360^{\circ}\times N+180^{\circ}\times (L-2)$$

所以$$n=2N+L-2$$

因此

$$\begin{aligned}
S&=n\times \dfrac{1}{2}S_{\square}&\\
&=(2N+L-2)\times \dfrac{1}{2}S_{\square}\\
&=(N+\dfrac{L}{2}-1)\times S_{\square}
\end{aligned}$$

(2)三角形格点：连接最近的三个格点，将格点多边形分割成$n$个小三角形，由等积变形可知每个小三角形的面积相等，都是$S_{\triangle}$

这$n$个小三角形的内角和是$180^{\circ}\times n$，另一方面，所有的内角和可以看成内部$N$个周角和边上$L$个点组成的$L$边形的内角和，故

$$180^{\circ}\times n=360^{\circ}\times N+180^{\circ}\times (L-2)$$

所以$$n=2N+L-2$$

因此

$$\begin{aligned}
S&=n\times S_{\triangle}&\\
&=(2N+L-2) \times S_{\triangle}\\
&=2\times (N+\dfrac{L}{2}-1)\times S_{\triangle}
\end{aligned}$$