问题
在直角三角形中,如果一个锐角等于 ${30}^\circ$,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC\bot BC,\angle A={30}^\circ$. 求证: $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
法1
如图,延长 $BC$ 到 $D$,使 $CD=BC$,连接 $AD$.
由 $AC\bot BC$,可知 $AC$ 为 $BD$ 的中垂线,有$$AD=AB,\angle CAD=\angle CAB={30}^\circ$$于是$$\angle BAD={60}^\circ$$显然 $\triangle ABD$ 为正三角形,可知 $BD=AB$,有$$BC=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AB$$所以$BC=\dfrac{1}{2}AB$.
法2
如图设 $D$ 为 $AB$ 的中点,连 $CD$. 显然 $CD$ 为 $Rt \triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 上的中线,
可知$$CD=\dfrac{1}{2}AB=DA=DB$$ 在 $\triangle DCB$ 中,易知 $\angle B={60}^\circ$,可知 $$\angle DCB=\angle B={60}^\circ$$ 有$\triangle BCD$ 为正三角形,于是 $$BC=DB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
法3
如图,作 $\angle ABC$ 的角平分线交 $AC$ 于 $D$,过 $D$ 作 $AB$ 的垂线,$E$ 为垂足.
由 $AC\bot BC$,可知 $E$ 与 $C$ 关于 $BD$ 对称,有 $BC=BE$. 显然 $\angle ABC={60}^\circ$,可知 $$\angle DBA={30}^\circ=\angle A$$ 有 $A$ 与 $B$ 关 于 $DE$ 对称,于是 $$EA=BE=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
法4
如图,过 $B$ 作 $BC$ 的垂线,过 $A$ 作 $AC$ 的垂线得交点 $D$,连 $CD$ 交 $AB$ 于 $O$.
显然四边形$ADBC$为矩形,可知 $$OC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 由 $\angle BAC={30}^\circ$,可知 $$\angle OBC={60}^\circ$$ 显然 $\triangle OBC$ 为正三角形,可知 $$BC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
法5
如图,作 $Rt\triangle ABC$ 的外接圆,$O$ 为圆心.
显然 $O$ 为 $AB$ 的中点,可知 $OC=OB=\dfrac{1}{2}AB$. 由 $$\angle A={30}^\circ$$ 可知 $\triangle OBC$ 为正三角形,有 $$BC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
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