【初数】问题1 30°所对直角边是斜边的一半

问题

在直角三角形中，如果一个锐角等于 ${30}^\circ$，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC\bot BC,\angle A={30}^\circ$. 求证: $BC=\dfrac{1}{2}AB$.

法1

如图，延长 $BC$ 到 $D$，使 $CD=BC$，连接 $AD$.

由 $AC\bot BC$，可知 $AC$ 为 $BD$ 的中垂线，有$$AD=AB,\angle CAD=\angle CAB={30}^\circ$$于是$$\angle BAD={60}^\circ$$显然 $\triangle ABD$ 为正三角形,可知 $BD=AB$，有$$BC=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AB$$所以$BC=\dfrac{1}{2}AB$.

法2

如图设 $D$ 为 $AB$ 的中点，连 $CD$. 显然 $CD$ 为 $Rt \triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 上的中线，

可知$$CD=\dfrac{1}{2}AB=DA=DB$$ 在 $\triangle DCB$ 中，易知 $\angle B={60}^\circ$，可知 $$\angle DCB=\angle B={60}^\circ$$ 有$\triangle BCD$ 为正三角形,于是 $$BC=DB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.

法3

如图，作 $\angle ABC$ 的角平分线交 $AC$ 于 $D$，过 $D$ 作 $AB$ 的垂线，$E$ 为垂足.

由 $AC\bot BC$，可知 $E$ 与 $C$ 关于 $BD$ 对称，有 $BC=BE$. 显然 $\angle ABC={60}^\circ$，可知 $$\angle DBA={30}^\circ=\angle A$$ 有 $A$ 与 $B$ 关 于 $DE$ 对称,于是 $$EA=BE=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.

法4

如图，过 $B$ 作 $BC$ 的垂线，过 $A$ 作 $AC$ 的垂线得交点 $D$，连 $CD$ 交 $AB$ 于 $O$.

显然四边形$ADBC$为矩形,可知 $$OC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 由 $\angle BAC={30}^\circ$，可知 $$\angle OBC={60}^\circ$$ 显然 $\triangle OBC$ 为正三角形，可知 $$BC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.

法5

如图，作 $Rt\triangle ABC$ 的外接圆，$O$ 为圆心.

显然 $O$ 为 $AB$ 的中点，可知 $OC=OB=\dfrac{1}{2}AB$. 由 $$\angle A={30}^\circ$$ 可知 $\triangle OBC$ 为正三角形，有 $$BC=OB=\dfrac{1}{2}AB$$ 所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.