【初数】问题3 夹半角求长度

问题

(2021·武汉一初) 如图, 正方形 $ABCD$ 中, 点 $E$, $F$ 分别是边 $AB$, $AD$ 上一点, 且 $BE=EF$, 过 $F$ 点作 $EF$ 的垂线交 $CD$ 边与 $G$ 点, 已知 $AF=1,FG={\displaystyle \frac{5}{2}}$, 则 $AB=\underset{―}{}$.

解答

如图，过$B$作$BP\mathrm{\perp }FG$于$P$，连接$BF$、$BG$，则$EF//BP$

因为$BE=EF$，所以$\mathrm{\angle }EBF=\mathrm{\angle }EFB=\mathrm{\angle }FBP$

又因为$\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }BPF={90}^{\circ }$，$BF=BF$

故$$\mathrm{△}BFA\cong \mathrm{△}BPF$$

所以$PF=AF=1$，$BP=BA=BC$

所以$$\text{Rt}\mathrm{△}BGP\cong \text{Rt}\mathrm{△}BGC$$

所以$GC=GP=FG-AF={\displaystyle \frac{5}{2}}-1={\displaystyle \frac{3}{2}}$

设正方形边长为$x$，则$DF=x-1$，$DG=x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$，$FG={\displaystyle \frac{5}{2}}$

根据勾股定理：$D{F}^2+D{G}^2=F{G}^2$

所以$$(x-1{)}^2+(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2={\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$$

化简得$$(x-3)(2x+1)=0$$

解得$x=3$或$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$（舍），故$AB=3$。