问题
(2021·七一华源) 如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $E$, $F$ 分别是边 $B C$, $C D$ 上的一点, $E F=B E+D F$, 在 $\triangle A E F$ 内部有一点 $P$, 且 $\angle A P E=\angle A P F=120^{\circ}$, $P A=2 \sqrt{3}+2$, $P E=4$, 则 $P F^{2}=\underline{\hspace{3em}}$
解答
如图,以$PA$为边构造正$\triangle PAW$,连接$WE$,过$E$作$EX \bot PW$于$X$
则$PW=PA=2\sqrt{3}+2$,$\angle EPX=60^{\circ}$
所以$$PX=\dfrac{1}{2}PE=2$$
$$EX=\sqrt{PE^2-PX^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$$
所以$$WX=PW-PX=2\sqrt{3}=EX$$
故$\triangle WXE$是等腰直角三角形,从而$\angle EWF=45^{\circ}$
又因为$EF=BE+DF$,根据夹半角模型可得$\angle EAF=45^{\circ}$
所以$$\angle EAF=\angle FWE$$
因此$A$、$W$、$E$、$F$四点共圆,那么$\angle AEF=\angle AWF=60^{\circ}$
又因为$$\angle PAE+\angle AEP=\angle AEP+\angle PEF=60^{\circ}$$
所以$\angle PAE=\angle PEF$,又$\angle APE=\angle EPF=120^{\circ}$
所以$$\triangle PAE \sim \triangle PEF$$
那么$$\dfrac{PA}{PE}=\dfrac{PE}{PF}$$
从而$$PF=\dfrac{PE^2}{PA}=\dfrac{4^2}{2\sqrt{3}+2}=4\sqrt{3}-4$$
因此$PF^2=(4\sqrt{3}-4)^2=64-32\sqrt{3}$
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