问题
如图,正六边形$ABCDEF$中,$EG=2GF$,$HC=2DH$,连接$GH$,$W$是$GH$上的一点,已知图中两块阴影部分的面积相等,求$GW:WH$.
法1
如图,连接$CF$,$WE$,$WD$,延长$FE$和$CD$交于点$I$,连接$WI$,则$EF=EI$,$DI=DC$
设两块阴影部分的面积为$2a$,则$S_{\triangle EGW}=4a$,$S_{\triangle EIW}=6a$,$S_{\triangle DHW}=a$,$S_{\triangle DIW}=3a$
所以$GW:WH=S_{\triangle GWI}:S_{\triangle HWI}=10a:4a=5:2$.
法2:【上海】石头
如图,连接$CG$,$FH$,延长$FE$和$CD$交于点$I$,易得$IG:GF=5:1$,$IH:HC=4:2=2:1$,设$S_{\triangle GHI}=10$,则
$$S_{\triangle GFH}=10\times \dfrac{1}{5}=2$$
$$S_{\triangle GHC}=10\times \dfrac{1}{2}=5$$
又
$$S_{\triangle GFH}=S_{\triangle GFW}\times \dfrac{GH}{GW}$$
$$S_{\triangle GHC}=S_{\triangle WHC}\times \dfrac{GH}{WH}$$
因为$S_{\triangle GFW}=S_{\triangle WHC}$,所以
$$GW:WH=S_{\triangle GHC}:S_{\triangle GFH}=5:2$$
法3:【北京】酒吞
如图,连接$FC$、$OG$、$OW$、$OH$,根据毕克定理易得
$$S_{\triangle OFG}=2\times (0+5\div 2-1)=3$$
$$S_{\triangle OGH}=2\times (3+3\div 2-1)=7$$
$$S_{\triangle OHC}=2\times (1+6\div 2-1)=6$$
因为$S_{\triangle OWF}=S_{\triangle OWC}$,所以
$$S_{OWGF}=S_{OWHC}=(3+7+6)\div 2=8$$
因此$S_{\triangle OGW}=8-3=5$,$S_{\triangle OHW}=8-6=2$,所以
$$GW:WH=S_{\triangle OGW}:S_{\triangle OHW}=5:2$$
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