题目

如图，等腰直角$\mathrm{△}ABC$中，$AB=AC$，$\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$，$D$为$BC$上一点，$E$为$AB$上一点，$F$为$AC$上一点，且$AE=AF$，$\mathrm{\angle }EDF={90}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }BDE={22.5}^{\circ }$，$DE=9\mathrm{cm}$
$(1)$求四边形$AEDF$的面积。
$(2)$求$\mathrm{△}EBD$的面积。

解答

(1)$\because AE=AF$、$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }EDF={90}^{\circ }$
$\therefore \mathrm{△}ADF$绕点$A$顺时针旋转${90}^{\circ }$到$\mathrm{△}AWE$
$\therefore W$、$E$、$D$共线，$\mathrm{△}AWD$是等腰$\text{Rt}\mathrm{△}$
$\therefore \mathrm{\angle }ADE={45}^{\circ }$
$\because AED={45}^{\circ }+{22.5}^{\circ }={67.5}^{\circ }$
$\therefore AW=AD=DE=9$
$\therefore S_{AEDF}=S_{\mathrm{△}AWD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 9\times 9=40.5{\text{cm}}^2$

(2)如图，过点$E$作$EX\perp AB$交$BC$于$X$，则$\mathrm{△}BEX$是等腰直角三角形，构造弦图，则$BZ=EY$
$\because \mathrm{\angle }BXE={45}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }EDB={22.5}^{\circ }$
$\therefore XE=XD$
$\therefore BZ=EY=YD={\displaystyle \frac{1}{2}}DE=4.5$
$\therefore S_{\mathrm{△}BED}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 9\times 4.5=20.25{\text{cm}}^2$