2022-2023学年度武汉市部分学校九年级调考第23题（四调）

问题

探索发现 如图 (1)$E$, $F$, $H$ 是正方形 $A B C D$ 边上的点, 连接 $B E$, $C F$ 交于点 $G$ 、连接 $A G$, $G H$, $C E=D F$.
(1) 判断 $B E$ 与 $C F$ 的位置关系, 并证明你的结论;
(2) 若 $C E=C H$, 求证: $\angle B A G=\angle C H G$.

迁移拓展 如图 (2), $E, F$ 是菱形 $A B C D$ 边 $A B$, $A D$ 上的点, 连接 $D E$, 点 $G$ 在 $D E$ 上, 连接 $A G$, $F G$, $C G$, $\angle A G D=\angle B A D$, $A F=A E$, $D F=G F$, $C D=10$, $C G=6$, 直接写出 $D F$ 的长及 $\cos \angle A D C$ 的值.

解答

（1）$BE\bot CF$，因为$DF=CE$，$\angle FDC=\angle ECB=90^{\circ}$，$DC=CB$，所以$\triangle DCF\cong \triangle ECB$，故$\angle DCF=\angle CBE$，所以$\angle CBE+\angle BCG=\angle DCF+\angle BCG=90^{\circ}$，因此$BE\bot CF$

（2）由（1）得$\angle HCG+\angle CBG=\angle CBG+\angle ABG=90^{\circ}$，所以$\angle HCG=\angle ABG$，又因为$\dfrac{AB}{HC}=\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{BG}{GC}$，那么$\triangle ABG\sim \triangle HCG$，所以$\angle BAG=\angle CHG$

（3）因为$\angle AGD=\angle EAD$，则$\triangle DAG\sim \triangle DEA$，所以$\angle FAG=\angle AED=\angle CDG$，$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AG}{DG}$
又因为$$\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AG}{DG}$$
所以$$\triangle FAG \sim \triangle CDG$$
所以$$\dfrac{AF}{FG}=\dfrac{CD}{CG}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$$
故$\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{5}{3}$，因此$DF=10\times \dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{4}$

如图，连接$CF$，过$F$作$FX\bot CD$于$X$，过$F$作$FY\bot CG$于$Y$，设$\angle FDG=\angle FGD=\alpha$，则$\angle DCG=\angle AFG=2\alpha$，所以四边形$CDFG$对角互补，即$C$、$D$、$F$、$G$四点共圆，又因为$DF=FG$，所以$\angle DCF=\angle GCF$，所以$FX=FY$，则
$$Rt\angle FDX\cong Rt\triangle FGY$$
所以$$DX=YG=\dfrac{1}{2}(CD-CG)=\dfrac{1}{2}(10-6)=2$$
故$$\cos \angle ADC=\dfrac{DX}{DF}=\dfrac{2}{\dfrac{15}{4}}=\dfrac{8}{15}$$