题目

如图，两个半径为4的圆的圆心分别是$D$、$E$，且$\mathrm{\angle }BAC={30}^{\circ }$，求阴影三角形$ABC$的面积。

解答

如图，连接$BD$、$CE$

因为$\mathrm{\angle }DAE={30}^{\circ }$，$AE=AD=DB=EC$

所以$\mathrm{\angle }ADE=\mathrm{\angle }AED={75}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }ECA=\mathrm{\angle }DBA={30}^{\circ }$

从而$\mathrm{\angle }AEC=\mathrm{\angle }ADB={120}^{\circ }$

因此$\mathrm{\angle }CED=\mathrm{\angle }BDE={45}^{\circ }$

那么$CE\perp BD$，故

$$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{△}ABC}& =S_{\mathrm{△}ADE}+S_{BCDE}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4\times 2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4\times 4\\ & =4+8\\ & =12\end{array}$$