【小奥】问题57 六条线段相等求角度

问题

如图,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$,$M$是$BC$的中点,且$AB=AC=DF=FM=GM=GE$,$\angle FDE=\angle GED=9^{\circ}$,求$\angle FMG$。

解析

如图,构造正方形$APBM$,作$F$关于$AD$的对称点$Q$,连接$DQ$、$PQ$、$PM$

易得$$PM=AB=MF=FD=DQ=QP$$

并且$$\angle QDF=2\angle ADF=2\times (45^{\circ}+9^{\circ})=108^{\circ}$$

所以$PQDFM$是正五边形,右边同理,因此

$$\angle FMG=360^{\circ}-108^{\circ}\times 2-90^{\circ}=54^{\circ}$$

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