【小奥】问题38 已知长方形面积求线段长

问题

如图是一个半圆和长方形，已知长方形$ABCD$的面积是$32$，$\mathrm{\angle }ABE={30}^{\circ }$，求线段$BE$的长．

解析

如图，设半圆的圆心为$O$，连接$OE$，则$\mathrm{\angle }AOE={60}^{\circ }$，不妨设$OA=a$，则$BC=OB=OE=2a$，根据长方形的面积可得

$$3a\times 2a=32$$

即$6a^2=32$，根据勾股定理易得

$$A{E}^2=(2a{)}^2-a^2=3a^2$$

那么$B{E}^2=3a^2+(3a{)}^2=12a^2=32\times 2=64$，故$BE=8$．