【小奥】问题38 已知长方形面积求线段长

问题

如图是一个半圆和长方形，已知长方形$ABCD$的面积是$32$，$\angle ABE=30^{\circ}$，求线段$BE$的长．

解析

如图，设半圆的圆心为$O$，连接$OE$，则$\angle AOE=60^{\circ}$，不妨设$OA=a$，则$BC=OB=OE=2a$，根据长方形的面积可得

$$3a\times 2a =32$$

即$6a^2=32$，根据勾股定理易得

$$AE^2=(2a)^2-a^2=3a^2$$

那么$BE^2=3a^2+(3a)^2=12a^2=32\times 2=64$，故$BE=8$．