【小奥】问题9 三箭穿心

问题

如图，$EO=DO=FO=3$，$AO+BO+CO=43$，那么$AO\times BO\times CO$等于多少？

解析

由共边定理易得$\dfrac{OF}{AF}=\dfrac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}}$，$\dfrac{OD}{BD}=\dfrac{S_{\triangle OAC}}{S_{\triangle ABC}}$，$\dfrac{OE}{CE}=\dfrac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ABC}}$

所以$$\dfrac{OF}{AF}+\dfrac{OD}{BD}+\dfrac{OE}{CE}=1$$
设$AO=a$，$BO=b$，$CO=c$，则

$$\begin{cases}
\dfrac{3}{a+3}+\dfrac{3}{b+3}+\dfrac{3}{c+3}=1 &\text{(1)}\\
a+b+c=43 &\text{(2)}
\end{cases}$$

崔老师语录：三个不如两个好，移项通分取倒数

由方程$(1)$可得
$$\dfrac{3}{a+3}+\dfrac{3}{b+3}=1-\dfrac{3}{c+3}=\dfrac{c}{c+3}$$
通分可得$$\dfrac{3a+3b+18}{ab+3a+3b+9}=\dfrac{c}{c+3}$$
取倒数$$1+\dfrac{ab-9}{3a+3b+18}=1+\dfrac{3}{c}$$
交叉相乘$$abc=9(a+b+c)+54=9\times 43+54=441$$