【初数】因式分解训练第1篇 提公因式法

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  1. 分解因式:$\left( 5a-2b \right)\left( 2m+3p \right)-\left( 2a-7b \right)\left( 2m+3p \right)$.

    【答案】$\left( 2m+3p \right)\left( 3a+5b \right)$

    • 原式$=\left(2m+3p\right)\left(5a-2b-2a+7b\right)$
      $\hspace{2em}=\left( 2m+3p \right)\left( 3a+5b \right)$
  2. 分解因式:$mn\left( {m}^{2}+{n}^{2} \right)-{n}^{2}\left( {m}^{2}+{n}^{2} \right)$.

    【答案】$n\left(m-n\right)\left(m^2+n^2\right)$

    • 原式$=n\left(m^2+n^2\right)\left(m-n\right)$
      $\hspace{2em}=n\left(m-n\right)\left(m^2+n^2\right)$
  3. 分解因式:$2{\left( p-1 \right)}^{2}-4q\left( p-1 \right)$.

    【答案】$2\left( p-1 \right)\left( p-2q-1 \right)$

    • 原式$=2\left( p-1 \right)\left( p-2q-1 \right)$
  4. 分解因式:$\dfrac{3}{2}{b}^{3n-1}+\dfrac{1}{6}{b}^{2n-1}$($n$是正整数).

    【答案】$\dfrac{1}{6}{b}^{2n-1}\left( 9{b}^{n}+1 \right)$

    • 原式$=\dfrac{1}{6}\left(9b^{3n-1}+b^{2n-1}\right)$
      $\hspace{2em}=\dfrac{1}{6}{b}^{2n-1}\left( 9{b}^{n}+1 \right)$
  5. 分解因式:$-2x\left( x+1 \right)+a\left( x+1 \right)+\left( x+1 \right)$.

    【答案】$\left( x+1 \right)\left( a+1-2x \right)$

    • 原式$=\left( x+1 \right)\left( a+1-2x \right)$
  6. 分解因式:$a\left( x-a \right)+b\left( a-x \right)-\left( x-a \right)$.

    【答案】$\left( x-a \right)\left( a-b-1 \right)$

    • 原式$=a\left( x-a \right)-b\left( x-a \right)-\left( x-a \right)$
      $\hspace{2em}=\left( x-a \right)\left( a-b-1 \right)$
  7. 分解因式:$5{x}^{2}y-10xyz+5xy$.

    【答案】$5xy\left( x-2z+1 \right)$

    • 原式$=5xy\left( x-2z+1 \right)$
  8. 分解因式:$\left( 2x-3y \right)\left( 3x-2y \right)+\left( 2y-3x \right)\left( 2x+3y \right)$

    【答案】$-6y\left( 3x-2y \right)$

    • 原式$=\left( 2x-3y \right)\left( 3x-2y \right)+\left( 2y-3x \right)\left( 2x+3y \right)$
      $\hspace{2em}=\left( 3x-2y \right)\left[ \left( 2x-3y \right)-\left( 2x+3y \right) \right]$
      $\hspace{2em}=-6y\left( 3x-2y \right)$
  9. 分解因式:${\left( 2x+y \right)}^{3}-{\left( 2x+y \right)}^{2}+\left( 2x+y \right)$.

    【答案】$\left( 2x+y \right)\left(4x^{2}+4xy+y^{2} – 2x-y +1 \right)$

    • 原式$=\left( 2x+y \right)\left[ {\left( 2x+y \right)}^{2}-\left( 2x+y \right)+1 \right]$
      $\hspace{2em}=\left( 2x+y \right)\left(4x^{2}+4xy+y^{2} – 2x-y +1 \right)$
  10. 分解因式:$2{a}^{2}b{\left( x+y \right)}^{2}\left( b+c \right)-6{a}^{3}{b}^{3}\left( x+y \right){\left( b+c \right)}^{2}$.

    【答案】$2{a}^{2}b\left( x+y \right)\left( b+c \right)\left( x+y-3a{b}^{3}-3a{b}^{2}c \right)$

    • 原式$=2{a}^{2}b\left( x+y \right)\left( b+c \right)\cdot \left( x+y \right)-2{a}^{2}b\left( x+y \right)\left( b+c \right)\cdot 3a{b}^{2}\left( b+c \right)$
      $\hspace{2em}=2{a}^{2}b\left( x+y \right)\left( b+c \right)\left[ \left( x+y \right)-3a{b}^{2}\left( b+c \right) \right]$
      $\hspace{2em}=2{a}^{2}b\left( x+y \right)\left( b+c \right)\left( x+y-3a{b}^{3}-3a{b}^{2}c \right)$
  11. 分解因式:$12{a}^{3}{x}^{3}+6ab{x}^{2}y-15ac{x}^{2}$.

    【答案】$3a{x}^{2}\left( 4ax+2by-5c \right)$

    • 原式$=3a{x}^{2}\left( 4ax+2by-5c \right)$
  12. 分解因式:${\left( 2x+y \right)}^{3}-{\left( 2x+y \right)}^{2}+\left( 2x+y \right)$.

    【答案】$\left( 2x+y \right)\left( 4{x}^{2}+4xy+{y}^{2}-2x-y+1 \right)$

    • 原式$=\left( 2x+y \right)\left[ {\left( 2x+y \right)}^{2}-\left( 2x+y \right)+1 \right]$
      $\hspace{2em}=\left( 2x+y \right)\left( 4{x}^{2}+4xy+{y}^{2}-2x-y+1 \right)$
  13. 分解因式:$6p{\left( x-1 \right)}^{3}-8{p}^{2}{\left( x-1 \right)}^{2}-2p{\left( 1-x \right)}^{2}$.

    【答案】$2p{\left( x-1 \right)}^{2}\left( 3x-4p-4 \right)$

    • 原式$=2p\left(x-1\right)^2\left[3\left(x-1\right)-4p-1 \right]$
      $\hspace{2em}=2p{\left( x-1 \right)}^{2}\left( 3x-4p-4 \right)$
  14. 分解因式:${\left( x+y \right)}^{2}\left( b+c \right)-\left( x+y \right){\left( b+c \right)}^{2}$.

    【答案】$\left(x+y\right)\left(b+c\right)\left(x+y-b-c\right)$

    • 原式$=\left(x+y\right)\left(b+c\right)\left(x+y-b-c\right)$
  15. 分解因式:$2\left( x+y \right)+6{\left( x+y \right)}^{2}-4{\left( x+y \right)}^{3}$.

    【答案】$2\left( x+y \right)\left( 1+3x+3y-2{x}^{2}-4xy-2{y}^{2} \right)$

    • 原式$=2\left(x+y\right)\left[1+3\left(x+y\right)-2\left(x+y\right)^2\right]$
      $\hspace{2em}=2\left( x+y \right)\left( 1+3x+3y-2{x}^{2}-4xy-2{y}^{2} \right)$
  16. 分解因式:$8{x}^{4}{y}^{3}{z}^{2}-6{x}^{5}{y}^{2}$.

    【答案】$2{x}^{4}{y}^{2}\left( 4y{z}^{2}-3x \right)$.

    • 原式$=2{x}^{4}{y}^{2}\left( 4y{z}^{2}-3x \right)$
  17. 分解因式:$-3m{a}^{3}+6m{a}^{2}-12ma$.

    【答案】$-3ma\left({a}^{2}-2a+4\right)$.

    • 原式$=-3ma\left({a}^{2}-2a+4\right)$
  18. 分解因式:$2a{\left(a-3\right)}^{2}-6{a}^{2}\left(3-a\right)-8a\left( a-3 \right)$.

    【答案】$2a\left(a-3\right)\left( 4a-7 \right)$.

    • 原式$=2a{\left(a-3\right)}^{2}+6{a}^{2}\left(a-3\right)-8a\left(a-3\right)$
      $\hspace{2em}=2a\left( a-3 \right)\left[ \left( a-3 \right)+3a-4 \right]$
      $\hspace{2em}=2a\left(a-3\right)\left( 4a-7 \right)$
  19. 分解因式:$m{\left(m-n\right)}^{5}+n{\left(n-m\right)}^{5}$.

    【答案】${\left(m-n\right)}^{6}$.

    • 原式$=m{\left(m-n\right)}^{5}-n{\left(m-n\right)}^{5}$
      $\hspace{2em}={\left(m-n\right)}^{5}\left(m-n\right)$
      $\hspace{2em}={\left(m-n\right)}^{6}$
  20. 分解因式:$10a{\left( x-y \right)}^{2}+5ax\left( y-x \right)$.

    【答案】$5a\left( x-y \right)\left( x-2y \right)$

    • 原式$=10a{\left( x-y \right)}^{2}-5ax\left( x-y \right)$
      $\hspace{2em}=5a\left( x-y \right)\left[2\left( x-y \right)-x\right]$
      $\hspace{2em}=5a\left( x-y \right)\left( x-2y \right)$
  21. 分解因式:$-15x^3y+75y^2x-100xy$.

    【答案】$-5xy\left(3x^2-15y+20\right)$.

    • 原式$=-5xy\left(3x^2-15y+20\right)$
  22. 分解因式:${x}^{15}+{x}^{14}+\cdots +x+1$.

    【答案】$\left(x+1\right)\left({x}^{2}+1\right)\left({x}^{4}+1\right)\left({x}^{8}+1\right)$.

    • 原式$=\left(x+1\right)\left({x}^{14}+{x}^{12}+\cdots +{x}^{2}+1\right)$
      $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left({x}^{2}+1\right)\left({x}^{12}+{x}^{8}+{x}^{4}+1\right)$
      $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left({x}^{2}+1\right)\left({x}^{4}+1\right)\left({x}^{8}+1\right)$
  23. 分解因式:$1+a+a\left(a+1\right)+a{\left(a+1\right)}^{2}+a{\left(a+1\right)}^{3}+\cdots \cdots +a{\left(a+1\right)}^{2021}$

    【答案】${\left(a+1\right)}^{2022}$

    • 原式$={\left(a+1\right)}^{2}\left(1+a\right)+a{\left(a+1\right)}^{3}+\cdots \cdots +a{\left(a+1\right)}^{2021}$
      $\hspace{2em}=\left(a+1\right)^3\left(1+a\right)+\cdots \cdots +a\left(1+a\right)^{2021}$
      $\hspace{2em}=\left(1+a\right)^{2021}\left(1+a\right)$
      $\hspace{2em}=\left(1+a\right)^{2022}$
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