【初数】因式分解训练第2篇 公式法

【答案】$8ax\left( a^2+x^2 \right)$

• 原式$=\left[\left(a+x\right)^2\right]^2-\left[\left(a-x\right)^2\right]^2$
  $\hspace{2em}=\left[\left(a+x\right)^2+\left(a-x\right)^2\right]\left[\left(a+x\right)^2-\left(a-x\right)^2\right]$
  $\hspace{2em}=2\left(a^2+x^2\right)\cdot 4ax$
  $\hspace{2em}=8ax\left( a^2+x^2 \right)$

【答案】$-{\left( a-b \right)}^{2}{\left( a+b \right)}^{2}$．

• 原式$=\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(2ab-a^2-b^2\right)\left(2ab+a^2+b^2\right)$
  $\hspace{2em}=-{\left( a-b \right)}^{2}{\left( a+b \right)}^{2}$．

【答案】$8{q}^{3}$

• 原式$=\left[\left(p+q\right)-\left(p-q\right)\right]^3$
  $\hspace{2em}=\left(2q\right)^3$
  $\hspace{2em}=8q^3$

【答案】${\left( x-3y+2z \right)}^{2}$

• 原式$={\left( x-3y+2z \right)}^{2}$

【答案】${\left( a+b-c \right)}^{2}$

• 原式$={\left( a+b \right)}^{2}-2c\left( a+b \right)+{c}^{2}$
  $\hspace{2em}={\left( a+b-c \right)}^{2}$

【答案】${\left( 3a+{x}^{n}+1 \right)}^{2}$

• 原式$={\left( 3a+{x}^{n} \right)}^{2}+{2\left( 3a+{x}^{n} \right)}+1$
  $\hspace{2em}={\left( 3a+{x}^{n}+1 \right)}^{2}$

【答案】${a}^{n-2}{\left( {a}^{2}+4 \right)}^{2}$

• 原式$=a^{n-2}\left(a^4+8a^2+16\right)$
  $\hspace{2em}={a}^{n-2}{\left( {a}^{2}+4 \right)}^{2}$

【答案】${\left( ax+bx-ay+by \right)}^{2}$

• 原式$=\left[x\left(a+b\right)\right]^2-2xy\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left[y\left(a-b\right)\right]^2$
  $\hspace{2em}=\left[x\left(a+b\right)-y\left(a-b\right)\right]^2$
  $\hspace{2em}={\left( ax+bx-ay+by \right)}^{2}$

【答案】${y}^{3}\left( 4{x}^{2}+{y}^{4} \right)\left( 16{x}^{4}-4{x}^{2}{y}^{4}+{y}^{8} \right)$

• 原式$=y^3\left(64x^6+y^{12}\right)$
  $\hspace{2em}=y^3\left[\left(4x^2\right)^3+\left(y^4\right)^3\right]$
  $\hspace{2em}=y^3\left(4x^2+y^4\right)\left(16x^4-4x^2y^4+y^8\right)$

【答案】$4{b}^{3}\left( 2a-{b}^{2} \right)\left( 4{a}^{2}+2a{b}^{2}+{b}^{4} \right)$

• 原式$=4b^3\left(8a^3-b^6\right)$
  $\hspace{2em}=4b^3\left[\left(2a\right)^3-\left(b^2\right)^3\right]$
  $\hspace{2em}=4{b}^{3}\left( 2a-{b}^{2} \right)\left( 4{a}^{2}+2a{b}^{2}+{b}^{4} \right)$

【答案】$\left( 2abc-1 \right)\left( 4{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+2abc+1 \right)$

• 原式$=\left(2abc\right)^3-1^3$
  $\hspace{2em}=\left( 2abc-1 \right)\left( 4{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+2abc+1 \right)$

【答案】$24x\left( x-1 \right){\left( x+1 \right)}^{2}$

• 原式$=\left(6x^2-6\right)\left(4x^2+4x\right)$
  $\hspace{2em}=24x\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=24x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=24x\left( x-1 \right){\left( x+1 \right)}^{2}$

【答案】$x\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 4{x}^{2}+1 \right)$

• 原式$=x\left(16x^4-1\right)$
  $\hspace{2em}=x\left[\left(4x^2\right)^2-1^2\right]$
  $\hspace{2em}=x\left(4x^2-1\right)\left(4x^2+1\right)$
  $\hspace{2em}=x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(4x^2+1\right)$

【答案】$\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)$

• 原式$=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)$

【答案】$\left( a+b \right)\left( {a}^{2}-ab+{b}^{2} \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$

• 原式$=\left(a^3+b^3\right)\left(a^3-b^3\right)$
  $\hspace{2em}=\left( a+b \right)\left( {a}^{2}-ab+{b}^{2} \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$

【答案】$\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)\left( {a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4} \right)$

• 原式$=\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3$
  $\hspace{2em}=\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)\left( {a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4} \right)$

【答案】$\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)\left( {x}^{4}+{y}^{4} \right)$

• 原式$=\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)\left( {x}^{4}+{y}^{4} \right)$

【答案】$8\left( a-b \right)\left( a+b \right)\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)$

• 原式$=\left(4a^2-4b^2\right)\left(2a^2+2b^2\right)$
  $\hspace{2em}=8\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)$
  $\hspace{2em}=8\left( a-b \right)\left( a+b \right)\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)$

【答案】$5ax\left( 2ax+3y \right)\left( 2ax-3y \right)$

• 原式$=5ax\left(4a^2x^2-9y^2\right)$
  $\hspace{2em}=5ax\left( 2ax+3y \right)\left( 2ax-3y \right)$

【答案】$\left( 2c-3ab \right)\left( 2c+3ab \right)\left( 4{c}^{2}+9{a}^{2}{b}^{2} \right)$

• 原式$=\left(4c^2\right)^2-\left(9a^2b^2\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(4c^2-9a^2b^2\right)\left(4c^2+9a^2b^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(2c-3ab\right)\left(2c+3ab\right)\left(4c^2+9a^2b^2\right)$

【答案】$\left( 2y+2z-x \right)\left( 2y-2z+x \right)$

• 原式$=\left(2y\right)^2-\left(2z-x\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left( 2y+2z-x \right)\left( 2y-2z+x \right)$

【答案】$\left( 4+3a+2b \right)\left( 4-2a-2b \right)$

• 原式$=4^2-\left(3a+2b\right)^2$
  $\hspace{2em}=-\left( 3a+2b +4 \right)\left( 3a+2b-4 \right)$

【答案】${\left( 3a+1 \right)}^{3}{\left( 3a-1 \right)}^{3}$

• 原式$={\left( 9{a}^{2} \right)}^{3}-3\cdot {\left( 9{a}^{2} \right)}^{2}\cdot 1+3\cdot \left( 9{a}^{2} \right)\cdot {1}^{2}-{1}^{3}$
  $\hspace{2em}={\left( 9{a}^{2}-1 \right)}^{3}$
  $\hspace{2em}={\left( 3a+1 \right)}^{3}{\left( 3a-1 \right)}^{3}$

【答案】${\left( 2x+3y \right)}^{3}$

• 原式$=8{x}^{3}+36{x}^{2}y+54x{y}^{2}+27{y}^{3}$
  $\hspace{2em}={\left( 2x \right)}^{3}+3{\left( 2x \right)}^{2}\left( 3y \right)+3\left( 2x \right){\left( 3y \right)}^{2}+{\left( 3y \right)}^{3}$
  $\hspace{2em}={\left( 2x+3y \right)}^{3}$

【答案】${\left( 2a+3b-3c \right)}^{2}$

• 原式$={\left( 2a \right)}^{2}+{\left( 3b \right)}^{2}+{\left( -3c \right)}^{2}+2\left( 3b \right)\left( -3c \right)+2\left( 2a \right)\left( -3c \right)+2\left( 2a \right)\left( 3b \right)$
  $\hspace{2em}={\left( 2a+3b-3c \right)}^{2}$

【答案】$-4{\left( a-1 \right)}^{2}$

• 原式$=-4{a}^{2}+8a-4$
  $\hspace{2em}=-4\left( {a}^{2}-2a+1 \right)$
  $\hspace{2em}=-4{\left( a-1 \right)}^{2}$

【答案】${\left( 3x-4y \right)}^{2}$

• 原式$=\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot4y+\left(4y\right)^2$
  $\hspace{2em}={\left( 3x-4y \right)}^{2}$

【答案】$9{x}^{2}\left( x-2y \right)\left( {x}^{2}+2xy+4{y}^{2} \right)$

• 原式$=9{x}^{2}\left( {x}^{3}-8{y}^{3} \right)$
  $\hspace{2em}=9{x}^{2}\left[ {x}^{3}-{\left( 2y \right)}^{3} \right]$
  $\hspace{2em}=9{x}^{2}\left( x-2y \right)\left( {x}^{2}+2xy+4{y}^{2} \right)$

【答案】$16\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)$

• 原式$={\left( 5{a}^{2}-3{b}^{2} \right)}^{2}-{\left( 3{a}^{2}-5{b}^{2} \right)}^{2}$
  $\hspace{2em}=\left( 8{a}^{2}-8{b}^{2} \right)\left( 2{a}^{2}+2{b}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=16\left( {a}^{2}-{b}^{2} \right)\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=16\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+{b}^{2} \right)$

【答案】$3{x}^{2}y\left( 5{x}^{2}+2{y}^{2} \right)\left( 5{x}^{2}-2{y}^{2} \right)$

• 原式$=3{x}^{2}\left( 25{x}^{4}-4{y}^{4} \right)$
  $\hspace{2em}=3{x}^{2}y\left[ {\left( 5{x}^{2} \right)}^{2}-{\left( 2{y}^{2} \right)}^{2} \right]$
  $\hspace{2em}=3{x}^{2}y\left( 5{x}^{2}+2{y}^{2} \right)\left( 5{x}^{2}-2{y}^{2} \right)$

【答案】$\left( 5m-n \right)\left( m-5n \right)$

• 原式$=3\left[ \left( m-n \right)+2\left( m+n \right) \right]\left[ 3\left( m-n \right)-2\left( m+n \right) \right]$
  $\hspace{2em}=3\left[ \left( m-n \right)+2\left( m+n \right) \right]\left[ 3\left( m-n \right)-2\left( m+n \right) \right]$
  $\hspace{2em}=\left( 5m-n \right)\left( m-5n \right)$