【初数】因式分解训练第3篇分组分解法-邱福星的教学页面

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分解因式：${x}^{2}+a{x}^{2}+x+ax-1-a$．
【答案】$\left( a+1 \right)\left( {x}^{2}+x-1 \right)$
- 法一：按字母$x$来幂来分组．
  原式$=\left( {x}^{2}+a{x}^{2} \right)+\left( x+ax \right)-\left( 1+a \right)$
  $\hspace{2em}={x}^{2}\left( 1+a \right)+x\left( 1+a \right)-\left( 1+a \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 1+a \right)\left( {x}^{2}+x-1 \right)$．
  法二：按字母$a$的幂来分组．
  原式$=\left( a{x}^{2}+ax-a \right)+\left( {x}^{2}+x-1 \right)$
  $\hspace{2em}=a\left( {x}^{2}+x-1 \right)+\left( {x}^{2}+x-1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( a+1 \right)\left( {x}^{2}+x-1 \right)$
分解因式：$a{x}^{3}+x+a+1$．
【答案】$\left(x+1\right)\left(a{x}^{2}-ax+a+1\right)$
- 原式$=\left(a{x}^{3}+a\right)+\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=a\left(x+1\right)\left({x}^{2}-x+1\right)+\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left(a{x}^{2}-ax+a+1\right)$
分解因式：${x}^{3}-2{x}^{2}-x+2+{x}^{5}-2{x}^{4}$．
【答案】$\left( x-2 \right)\left( {x}^{4}+{x}^{2}-1 \right)$
- 原式$={x}^{2}\left( x-2 \right)-\left( x-2 \right)+{x}^{4}\left( x-2 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( {x}^{2}-1+{x}^{4} \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( {x}^{4}+{x}^{2}-1 \right)$．
分解因式：${x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}+x+1$．
【答案】$\left( {x}^{2}+1 \right)\left( {x}^{2}+1+x \right)$
- 原式$=\left( {x}^{4}+2{x}^{2}+1 \right)+\left( {x}^{3}+x \right)$
  $\hspace{2em}={\left( {x}^{2}+1 \right)}^{2}+x\left( {x}^{2}+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( {x}^{2}+1 \right)\left( {x}^{2}+1+x \right)$．
分解因式：$ax-by-bx+ay$．
【答案】$\left( a-b \right)\left( x+y \right)$
- 原式$=\left( ax-bx \right)+\left( ay-by \right)$
  $\hspace{2em}=x\left( a-b \right)+y\left( a-b \right)$
  $\hspace{2em}=\left( a-b \right)\left( x+y \right)$．
分解因式：$ax\left( {y}^{3}+{b}^{3} \right)+by\left( b{x}^{2}+{a}^{2}y \right)$．
【答案】$\left( {b}^{2}x+a{y}^{2} \right)\left( xy+ab \right)$
- 原式$=axy^3+axb^3+b^2x^2y+a^2by^2$
  $\hspace{2em}=\left(axy^3+b^2x^2y\right)+\left(axb^3+a^2by^2\right)$
  $\hspace{2em}=xy\left(ay^2+b^2x\right)+ab\left(b^2x+ay^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left( {b}^{2}x+a{y}^{2} \right)\left( xy+ab \right)$
分解因式：${\left( a+b \right)}^{2}+{\left( a+c \right)}^{2}-{\left( c+d \right)}^{2}-{\left( b+d \right)}^{2}$．
【答案】$2\left( a+b+c+d \right)\left( a-d \right)$
- 原式$=\left(a+b\right)^2-\left(c+d\right)^2+\left(a+c\right)^2-\left(b+d\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(a+b+c+d\right)\left(a+b-c-d\right)+\left(a+b+c+d\right)\left(a-b+c-d\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a+b+c+d\right)\left(2a-2d\right)$
  $\hspace{2em}=2\left( a+b+c+d \right)\left( a-d \right)$
分解因式：${x}^{4}+{x}^{3}y+x{z}^{3}+y{z}^{3}$．
【答案】$\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( {x}^{2}-xz+{z}^{2} \right)$
- 原式$=x^3\left(x+y\right)+z^3\left(x+y\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+y\right)\left(x^3+z^3\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( {x}^{2}-xz+{z}^{2} \right)$
分解因式：${x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}-{x}^{2}z-{y}^{2}z+1$．
【答案】$\left( {y}^{2}z-1 \right)\left( {x}^{2}z-1 \right)$
- 原式$=x^2z\left(y^2z-1\right)-\left(y^2z-1\right)$
  $\hspace{2em}=\left( {y}^{2}z-1 \right)\left( {x}^{2}z-1 \right)$
分解因式：${x}^{2}{y}^{2}-{x}^{2}{z}^{2}-{y}^{2}z^2+z^4$．
【答案】$\left( x+z \right)\left( x-z \right)\left( y+z \right)\left( y-z \right)$
- 原式$=x^2\left(y^2-z^2\right)-z^2\left(y^2-z^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x^2-z^2\right)\left(y^2-z^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+z \right)\left( x-z \right)\left( y+z \right)\left( y-z \right)$
分解因式：${a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}+1$．
【答案】$\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)\left( b+1 \right)\left( b-1 \right)$
- 原式$=a^2\left(b^2-1\right)-\left(b^2-1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a^1-1\right)\left(b^2-1\right)$
  $\hspace{2em}=\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)\left( b+1 \right)\left( b-1 \right)$
分解因式：${a}^{4}-{a}^{3}b-a{b}^{3}+{b}^{4}$．
【答案】${\left( a-b \right)}^{2}\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$
- 原式$=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)$
  $\hspace{2em}={\left( a-b \right)}^{2}\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$
分解因式：${a}^{4}+{a}^{3}b-a{b}^{3}-{b}^{4}$．
【答案】$\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$
- 原式$=a^3\left(a+b\right)-b^3\left(a+b\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a+b\right)\left(a^3-b^3\right)$
  $\hspace{2em}=\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left( {a}^{2}+ab+{b}^{2} \right)$
分解因式：$ac{x}^{3}+bc{x}^{2}+adx+bd$．
【答案】$\left( ax+b \right)\left( c{x}^{2}+d \right)$
- 原式$=cx^2\left(ax+b\right)+d\left(ax+b\right)$
  $\hspace{2em}=\left( ax+b \right)\left( c{x}^{2}+d \right)$
分解因式：${x}^{3}+b{x}^{2}+ax+ab$．
【答案】$\left( x+b \right)\left( {x}^{2}+a \right)$
- 原式$=x^2\left(x+b\right)+a\left(x+b\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+b \right)\left( {x}^{2}+a \right)$
分解因式：$x\left( x+z \right)-y\left( y+z \right)$．
【答案】$\left( x-y \right)\left( x+y+z \right)$
- 原式$=x^2+xz-y^2-yz$
  $\hspace{2em}=x^2-y^2+xz-yz$
  $\hspace{2em}=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( x+y+z \right)$
分解因式：$a{\left( 1-b \right)}^{2}-1+2b-{b}^{2}$．
【答案】$\left(a-1\right)\left(b-1\right)^2$
- 原式$=a\left(b-1\right)^2-\left(b^2-2b+1\right)$
  $\hspace{2em}=a\left(b-1\right)^2-\left(b-1\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(a-1\right)\left(b-1\right)^2$
分解因式：$4{a}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2}-9{d}^{2}+4ac+6bd$．
【答案】$\left( 2a+c+b-3d \right)\left( 2a+c-b+3d \right)$
- 原式$=4a^2+4ac+c^2-\left(b^2-6bd+9d^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(2a+c\right)^2-\left(b-3d\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left( 2a+c+b-3d \right)\left( 2a+c-b+3d \right)$
分解因式：${x}^{3}+{y}^{3}+{x}^{2}+2xy+{y}^{2}$．
【答案】$\left( x+y \right)\left( {x}^{2}-xy+{y}^{2}+x+y \right)$
- 原式$=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left( x+y \right)\left( {x}^{2}-xy+{y}^{2}+x+y \right)$
分解因式：${x}^{3}-x+{y}^{3}-y$．
【答案】$\left( x+y \right)\left( {x}^{2}-xy+{y}^{2}-1 \right)$
- 原式$=x^3+y^3-\left(x+y\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+y \right)\left( {x}^{2}-xy+{y}^{2}-1 \right)$
分解因式：$2\left( {x}^{2}-3ab \right)+x\left( 4a-3b \right)$．
【答案】$\left( x+2a \right)\left( 2x-3b \right)$
- 原式$=2x^2-6ab+4ax-3bx$
  $\hspace{2em}=2x^2+4ax-\left(6ab+3bx\right)$
  $\hspace{2em}=2x\left(x+2a\right)-3b\left(x+2a\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+2a \right)\left( 2x-3b \right)$
分解因式：$32a{c}^{2}+15c{x}^{2}-48a{x}^{2}-10{c}^{3}$．
【答案】$\left( 2{c}^{2}-3{x}^{2} \right)\left( 16a-5c \right)$
- 原式$=32ac^2-48ax^2-\left(10c^3-15cx^2\right)$
  $\hspace{2em}=16a\left(2c^2-3x^3\right)-5c\left(2c^2-3x^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left( 2{c}^{2}-3{x}^{2} \right)\left( 16a-5c \right)$
分解因式：${a}^{2}{b}^{3}-ab{c}^{2}d+a{b}^{2}cd-{c}^{3}{d}^{2}$．
【答案】$\left( ab+cd \right)\left( a{b}^{2}-{c}^{2}d \right)$
- 原式$=ab\left(ab^2-c^2d\right)+cd\left(ab^2-c^2d\right)$
  $\hspace{2em}=\left( ab+cd \right)\left( a{b}^{2}-{c}^{2}d \right)$
分解因式：$ab{x}^{2}+bxy-axy-{y}^{2}$．
【答案】$\left( bx-y \right)\left( ax+y \right)$
- 原式$=bx\left(ax+y\right)-y\left(ax+y\right)$
  $\hspace{2em}=\left( bx-y \right)\left( ax+y \right)$
分解因式：$4x\left( {a}^{2}+{x}^{2} \right)-{a}^{2}-{x}^{2}$．
【答案】$\left( {a}^{2}+{x}^{2} \right)\left( 4x-1 \right)$
- 原式$=4x\left(a^2+x^2\right)-\left(a^2+x^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left( {a}^{2}+{x}^{2} \right)\left( 4x-1 \right)$
分解因式：$a\left( 1-b+{b}^{2} \right)-1+b-{b}^{2}$．
【答案】$\left(a-1\right)\left(b^2-b+1\right)$
- 原式$=a\left(b^2-b+1\right)-\left(b^2-b+1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a-1\right)\left(b^2-b+1\right)$
分解因式：${x}^{4}+{x}^{3}+{x}^{2}-1$．
【答案】$\left( x+1 \right)\left( {x}^{3}+x-1 \right)$
- 原式$=x^3\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left( {x}^{3}+x-1 \right)$
分解因式：$ax-ay+bx+cy-cx-by$．
【答案】$\left( x-y \right)\left( a+b-c \right)$
- 原式$=ax-ay+bx-by-\left(cx-cy\right)$
  $\hspace{2em}=a\left(x-y\right)+b\left(x-y\right)-c\left(x-y\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( a+b-c \right)$
分解因式：$ab\left( {c}^{2}-{d}^{2} \right)-\left( {a}^{2}-{b}^{2} \right)cd$
【答案】$\left( ac+bd \right)\left( bc-ad \right)$
- 原式$=ab{c}^{2}-ab{d}^{2}-{a}^{2}cd+{b}^{2}cd$
  $\hspace{2em}=\left( ab{c}^{2}-{a}^{2}cd \right)+\left( {b}^{2}cd-ab{d}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=ac\left( bc-ad \right)+bd\left( bc-ad \right)$
  $\hspace{2em}=\left( ac+bd \right)\left( bc-ad \right)$．
分解因式：${x}^{3}+{x}^{2}-{y}^{3}-{y}^{2}$．
【答案】$\left( x-y \right)\left( {x}^{2}+xy+{y}^{2}+x+y \right)$
- 原式$=\left( {x}^{3}-{y}^{3} \right)+\left( {x}^{2}-{y}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( {x}^{2}+xy+{y}^{2} \right)+\left( x-y \right)\left( x+y \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( {x}^{2}+xy+{y}^{2}+x+y \right)$．
分解因式：${x}^{3}+{x}^{2}+x-3$．
【答案】$\left( x-1 \right)\left( {x}^{2}+2x+3 \right)$
- 原式$=\left( {x}^{3}-1 \right)+\left( {x}^{2}-1 \right)+\left( x-1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-1 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)+\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+\left( x-1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-1 \right)\left( {x}^{2}+2x+3 \right)$．
分解因式：${x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}+x+1$．
【答案】$\left( {x}^{2}+1 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$
- 原式$=\left( {x}^{4}+2{x}^{2}+1 \right)+\left( {x}^{3}+x \right)$
  $\hspace{2em}={\left( {x}^{2}+1 \right)}^{2}+x\left( {x}^{2}+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( {x}^{2}+1 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$
分解因式：$a{x}^{3}+x+a+1$．
【答案】$\left( x+1 \right)\left( a{x}^{2}-ax+a+1 \right)$
- 原式$=\left( a{x}^{3}+a \right)+\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=a\left( x+1 \right)\left( {x}^{2}-x+1 \right)+\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left( a{x}^{2}-ax+a+1 \right)$．
分解因式：$-1-2x-{x}^{2}+{y}^{2}$．
【答案】$\left( y+x+1 \right)\left( y-x-1 \right)$
- 原式$={y}^{2}-\left( {x}^{2}+2x+1 \right)$
  $\hspace{2em}={y}^{2}-{\left( x+1 \right)}^{2}$
  $\hspace{2em}=\left( y+x+1 \right)\left( y-x-1 \right)$
分解因式：$a{c}^{2}+b{d}^{2}-a{d}^{2}-b{c}^{2}$．
【答案】$\left( a-b \right)\left( c+d \right)\left( c-d \right)$
- 原式$=\left( a{c}^{2}-a{d}^{2} \right)+\left( b{d}^{2}-b{c}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=a\left( {c}^{2}-{d}^{2} \right)-b\left( {c}^{2}-{d}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=\left( a-b \right)\left( {c}^{2}-{d}^{2} \right)$
  $\hspace{2em}=\left( a-b \right)\left( c+d \right)\left( c-d \right)$．
分解因式：${x}^{3}-2{x}^{2}-x+2+{x}^{5}-2{x}^{4}$
【答案】$\left( x-2 \right)\left( {x}^{4}+{x}^{2}-1 \right)$
- 原式$=\left( {x}^{5}-2{x}^{4} \right)+\left( {x}^{3}-2{x}^{2} \right)-\left( x-2 \right)$
  $\hspace{2em}={x}^{4}\left( x-2 \right)+{x}^{2}\left( x-2 \right)-\left( x-2 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( {x}^{4}+{x}^{2}-1 \right)$．