数论四大定理之威尔逊定理

若$p$为质数，则$(p-1)!\equiv -1 (\mod p)$，变形：若$p$为质数，则$(p-2)!\equiv 1 (\mod p)$

举例：$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\equiv -1(\mod 7)$，其中$2$、$4$配对，$3$、$5$配对模$7$余$1$，$1$、$6$配对模$7$余$-1$，除了首尾之外，剩下的每个数都能找到唯一的一个数配对，相乘后模$7$余$1$。

$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$模$7$的余数互不相同（剩余系），那么$2\times 1$、$2\times 2$、$2\times 3$、$2\times 4$、$2\times 5$、$2\times 6$模$7$的余数也是互不相同的且没有$0$，那么一定存在一个数$a$，能够让$2\times a$模$7$余$1$，且这个数不是$1$和$6$，同理$3\times 1$、$3\times 2$、$3\times 3$、$3\times 4$、$3\times 5$、$3\times 6$模$7$的余数也是互不相同的且没有$0$，那么一定存在一个数$b$，能够让$3\times b$模$7$余$1$，$4$、$5$也是如此，即$2$、$3$、$4$、$5$一定能两两配对。

虽然存在，但是配对的唯一吗，假设$2$和$a$、$b$两个数配对后模$7$都余$1$，那么$2a\equiv 2b \equiv 1(\mod 7)$，所以$7|2a-2b=2(a-b)$，由于$(2,7)=1$，所以$7|(a-b)$，那么$a=b$，所以是唯一的

一般化：

$1\times 2\times 3\times \cdots \times (p-2)\times (p-1)$，$2$到$(p-2)$这偶数个数一定能两两配对，乘积模$p$余$1$，所以$1\times 2\times 3\times \cdots \times (p-2)\times (p-1)\equiv 1\times (p-1) \equiv -1(\mod p)$