2024龙班选拔考试真题

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14. 请填空并证明以下结论：将$24$个黑球和$23$个白球任意排成一行，则必存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

• 黑．
• 无论如何排列，从右边开始将相邻的白球和黑球抵消，最后必然剩下一个黑球，这个黑球符合要求

15. $5$个$1$，$5$个$2$，$5$个$3$，$5$个$4$，$5$个$5$填入一个$5$行$5$列的表格内（每格填入$1$个数），使得同一列中任意两数之差不超过$2$，设第$k$列的所有书的和为$r_{k} (k=1$，$2$，$3$，$4$，$5)$，$m$为$r_{k} (k=1$，$2$，$3$，$4$，$5)$中的最小值，求$m$的最大值。

• $10$．
• 按$1$的分布来讨论，首先$5$个$1$不可能分布在$5$列，否则某一列至少有一个数大于$3$，这样差就超过了$2$，同理$5$个$1$也不可能分布在$4$列
  $(1)5$个$1$分布在$3$列中，这$3$列中只能出现$1$、$2$、$3$，刚好$15$个数，那么$3m\leqslant 5\times (1+2+3)$，则$m\leqslant 10$
  $(2)5$个$1$分布在$2$列中，这$2$列中最大为$3$，$2m\leqslant 5\times (1+3)$，则$m\leqslant 10$
  $(3)5$个$1$分布在$1$列中，则$m=5$
  综上$m\leqslant 10$，构造如下
  $11145$
  $11245$
  $22245$
  $33245$
  $33345$

16. 萍萍在一门数学课上参加了十次测验，每次测验的得分都是$0$到$ 100$之间的整数$($可包含$0$和$ 100)$。她注意到，每连续四次测验，她的平均分数都至多$47.5$分，求她在$10$次测验中可能得到的最高平均分$.$

• $57$．
• $\because 47.5\times 4 = 190$
  $\therefore \begin{cases} a_{1} + a_{2} +a_{3} +a_{4}\leqslant 190 \\ a_{2} + a_{3} +a_{4} +a_{5}\leqslant 190 \\ a_{3} + a_{4} +a_{5} +a_{6}\leqslant 190 \\ a_{4} + a_{5} +a_{6} +a_{7}\leqslant 190 \\a_{5} + a_{6} +a_{7} +a_{8}\leqslant 190\\a_{6} + a_{7} +a_{8} +a_{9}\leqslant 190\\a_{7} + a_{8} +a_{9} +a_{10}\leqslant 190 \end{cases} $
  $\therefore \begin{cases} S\leqslant 190+190+a_{9} +a_{10} \\ S\leqslant a_{1} +a_{2} +190+190 \\ a_{1} +a_{2} \leqslant 190 \\ a_{9} +a_{10} \leqslant 190\end{cases} $
  $\therefore 2S\leqslant 190\times 6$
  $\therefore S\leqslant 570$
  $\therefore $平均分最高为$570\div 10=57$
  构造如下：$a_{1} =100$，$a_{2} = 90$，$a_{3} = 0$，$a_{4} = 0$，$ a_{5} =100$，$a_{6} =90$，$ a_{7} = 0$，$ a_{8} = 0$，$ a_{9} = 100$，$ a_{10} =90 $

17. 求所有的正整数$n,$使得仅用如下面积为$4$的$T$形砖$($可旋转$)$可铺满$n\times n$的地面，要求任两块砖不能重叠，也不能超出地面以外$.$

• $n=4k$．
• 显然$n$为偶数，$n=4k$时显然可以，下面论证$n=4k+2$时不可以
  $(4k+2)\times (4k+2)=16k^{2} +16k+4$
  共$(16k^{2} +16k+4)\div 4=4k^{2} +4k+1$奇数个$T$，使用黑白间隔染色，那么共偶数个黑，每个$T$覆盖$3$黑$1$白或$1$黑$3$白，奇数个奇数相加是奇数，那么一共覆盖奇数个黑，与偶数个黑矛盾