问题
如图,四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$AD:DC=2:3$,$\angle BAD=120^{\circ}$,$\angle ADC=90^{\circ}$,将$BC$往两边延长,在延长线上取点$E$和$F$,连接$AE$、$DF$,以$AE$为斜边构造一个$30$度的直角三角形$AEG$,以$DF$为直角边构造一个等腰直角三角形$DFH$,已知$GH$和$AD$平行,求三角形$ABE$和三角形$CDF$的面积比.
解析
如图,连接$AH$、$DG$,$\angle EAG=60^{\circ}$,$\angle EAG+\angle BAD=180^{\circ}$,因为$AD$和$GH$平行,所以
$$S_{\triangle ADG}=S_{\triangle ADH}$$
$$\angle ADC+\angle HDF=90^{\circ}$$
所以$$\angle EAB+\angle GAD=180^{\circ}$$
$$\angle CDF+\angle ADH=180^{\circ}$$
$AE=2AG$,$DF=FH$,根据鸟头模型:$$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ADG}}=\frac{2\times 1}{1\times 1}=2$$
$$\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle ADH}}=\frac{3\times 1}{2\times 1}=1.5$$
所以$$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{2S_{\triangle ADG}}{1.5S_{\triangle ADH}}=\frac{4}{3}$$
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