【小奥】问题3 求面积比

问题

如图，四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$AD:DC=2:3$，$\angle BAD=120^{\circ}$，$\angle ADC=90^{\circ}$，将$BC$往两边延长，在延长线上取点$E$和$F$，连接$AE$、$DF$，以$AE$为斜边构造一个$30$度的直角三角形$AEG$，以$DF$为直角边构造一个等腰直角三角形$DFH$，已知$GH$和$AD$平行，求三角形$ABE$和三角形$CDF$的面积比．

解析

如图，连接$AH$、$DG$，$\angle EAG=60^{\circ}$，$\angle EAG+\angle BAD=180^{\circ}$，因为$AD$和$GH$平行，所以
$$S_{\triangle ADG}=S_{\triangle ADH}$$

$$\angle ADC+\angle HDF=90^{\circ}$$

所以$$\angle EAB+\angle GAD=180^{\circ}$$

$$\angle CDF+\angle ADH=180^{\circ}$$

$AE=2AG$，$DF=FH$，根据鸟头模型：$$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ADG}}=\frac{2\times 1}{1\times 1}=2$$

$$\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle ADH}}=\frac{3\times 1}{2\times 1}=1.5$$

所以$$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{2S_{\triangle ADG}}{1.5S_{\triangle ADH}}=\frac{4}{3}$$