2025龙班选拔考试真题

最近一直在上课，比较忙，答案有时间再更新，今天上午2个小时，只考了数学，一共8题，难度还是挺大的，基本全是组合和数论

1. 设$a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$、$a_5$是$1$、$2$、$3$、$4$、$5$的一个排列，求$S=\min\{a_1, 1\} + \min\{a_2, 3\}+ \min\{a_3, 5\}+ \min\{a_4, 7\}+ \min\{a_5, 9\}$的最小值，其中$\min\{x,y\}$表示$x$，$y$中的较小数。

2. 若一个单位分数$\dfrac{1}{n}$等于分母分别为$600$和$700$的两个最简分数的和，求$n$的最小可能值。

3. 将$9$个数码$1$，$2$，……，$9$的每一个排列都看成一个九位数，求其中能被$11$整除的九位数的个数。

4. 求最小的整数$k$，使得可以将$1$，$2$，……，$8$排列在一个圆周上，满足任意连续$4$个数之积只能取到$k$种值之一。

5. 设$a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$是正数，满足$a_1+a_2+a_3+a_4$是整数，记$\{x\}=x-[x]$为$x$的小数部分，其中$[x]$为不超过$x$的最大整数，求$S=\{a_1+a_2\}+\{a_1+a_3\}+\{a_1+a_4\}+\{a_2+a_3\}+\{a_2+a_4\}+\{a_3+a_4\}$的最小值。

6. 初始时，黑板上写有一个有$10$个字母的单词，其中字母$A$、$B$各有$5$个，一次操作可以选择任意包含相同个数的$A$、$B$连续一段，将其翻转后再将$A$、$B$互换，例如操作可将$ABABBA$变为$BAABAB$，请问：能否选择初始的单词，使得经过有限次操作后，得到初始单词的翻转。

7. 已知乒乓球单打比赛有$25$名选手参加。
   （1）是否必有$2$名选手与同样多数量的对手交手过？（若没有请举例，若有需要说明理由）
   （2）若每两人均需比赛一次且分出胜负，已知没有选手能够全胜，是否一定存在三个选手$A$、$B$、$C$，使得$A$战胜$B$，$B$战胜$C$，$C$战胜$A$？（若有需要说明理由，若没有请举例）

8. 有$10$个互不相同的正实数，考拉它们两两的和与积（各$45$个），已知这些和中有$5$个相等，求最大的正整数$k$，使得这些积中有$k$个相等。