2022寒兴趣三阶第1讲 有理数与数轴

  1. 在下列选项中,具有相反意义的量是(  ).
    A. 收入$20$元与支出$30$元
    B. $2$个老师和$2$个学生
    C. 走了$100$米与跑了$100$米
    D. 向东行$30$米和向北行$30$米

    【答案】$\text{A}$

    • 老师和学生为两种不同的身份,不存在相反意义,$\text{B}$错误;
      走路和跑步为两种不同的方式,不存在相反意义,$\text{C}$错误;
      向东行应与向西行相反,向东与向北不存在相反意义,$\text{D}$错误;
      收入$20$元与支出$30$元为一对相反意义的量,故选$\text{A}$.
  2. 如果$60\text{m}$表示“向北走$60\text{m}$”,那么“向南走$40\text{m}$”可以表示为(  ).
    A. $-20\text{m}$
    B. $-40\text{m}$
    C. $20\text{m}$
    D. $40\text{m}$

    【答案】$\text{B}$

    • “$+$”与“$-$”表示相反意义,
      若向北走$60\text{m}$记作$60\text{m}$,则向南走$40\text{m}$记作$-40\text{m}$.
  3. 下列关于“$0$”的说法错误的是(  ).
    A. $0$是整数,也是自然数
    B. $0$没有倒数
    C. 数轴上表示$0$的点是原点
    D. $0$是最小的有理数

    【答案】$\text{D}$

    • $0$不是最小的有理数.
  4. 下列说法正确的是(  )
    A. 有最小的有理数
    B. 有最大的负有理数
    C. 有绝对值最小的有理数
    D. 有最小的正数

    【答案】$\text{C}$

    • 没有最小的有理数,$\rm A$错;同样没有最大的负有理数,$\rm B$错;没有最小的正数,$\rm D$错,故选$\rm C$,绝对值最小的有理数是$0$.
  5. 在$\rm CCTV$“开心辞典”栏目中,主持人问这样一道题目:“$a$是最小的正整数,$b$是最大的负整数,$c$是绝对值最小的有理数,请问:$a$,$b$,$c$三数之和是”(  ).
    A. $-1$
    B. $0$
    C. $1$
    D. $2$

    【答案】$\rm B$

    • $a$为$1$,$b$为$-1$,$c$为$0$.
      $a$,$b$,$c$三数之和是$0$.
  6. 下列说法正确的是(  ).
    A. 数轴上的一个点可以表示两个不同的有理数
    B. 数轴上有两个不同的点表示同一个有理数
    C. 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点
    D. 有的有理数不能在数轴上表示出来

    【答案】$\rm C$

    • 本题考查了有理数,利用了数轴与有理数的关系,数轴与无理数的关系.
  7. 点$M$在数轴上距原点$4$个单位长度,若将$M$向右移动$2$个单位长度至$N$点,点$N$表示的数是(  ).
    A. $6$
    B. $-2$
    C. $-6$
    D. $6$或$-2$

    【答案】$\rm D$

    • 点$M$在数轴上距原点$4$个单位长度,
      则可知点$M$表示的数为$-4$或$4$,
      向右移动$2$个单位长度,得到点$N$,则点$N$表示的数是$-4+2$或$4+2$,即$6$或$-2$.
  8. $a-b$的相反数是(  ).
    A. $a-b$
    B. $b-a$
    C. $-a-b$
    D. 不能确定

    【答案】$\rm B$

    • 根据相反数的定义,得$a-b$的相反数是$-(a-b)=b-a$.
  9. 若$a-b+c$表示一个不等于零的有理数,那么它的相反数是(  ).
    A. $-a+b+c$
    B. $-a-b-c$
    C. $-a+b-c$
    D. $a+b-c$

    【答案】$\rm C$

    • 求相反数直接添加“$-$”,即$-\left( a-b+c \right)=-a+b-c$.
  10. 若代数式$3a-1$与$2a+6$互为相反数时,则$a$的值是(  )
    A. $1$
    B. $0$
    C. $-1$
    D. $-2$

    【答案】$\rm C$

    • $3a-1+2a+6=0$,解得$a=-1$.
  11. 若$m+n=0$,$n+p=0$,且$m-q=0$,则(  ).
    A. $p$与$q$相等
    B. $m$与$p$互为相反数
    C. $m$与$n$相等
    D. $n$与$q$相等

    【答案】$\rm A$

    • ∵$m+n=0$,$n+p=0$,
      ∴$m$与$n$和$n$与$p$互为相反数,
      ∴$m=p$.
      又∵$m-q=0$,∴$p=q$.
  12. 计算:$\left[ 4\dfrac{5}{12}+\left( -\dfrac{1}{7} \right) \right]+\left[ \left( -\dfrac{2}{7} \right)+6\dfrac{7}{12} \right]$.

    【答案】$10\dfrac{4}{7}$.

    • 原式$=\left(4\dfrac{5}{12}+6\dfrac{7}{12} \right)+\left[ \left( -\dfrac{1}{7} \right)+\left( -\dfrac{2}{7} \right) \right]$
      ​ $=11+\left( -\dfrac{3}{7} \right)$
      ​ $=\dfrac{74}{7}$
  13. 计算:$\left[ 2\dfrac{7}{8}+\left( -4\dfrac{5}{12} \right)-1.125+\left( -3\dfrac{7}{12} \right) \right]\div \left( 2\dfrac{17}{18}-3\dfrac{5}{6} \right)$.

    【答案】$\dfrac{225}{32}$.

    • 原式$=\left[ \left( 2\dfrac{7}{8}-1\dfrac{1}{8} \right)-\left( 4\dfrac{5}{12}+3\dfrac{7}{12} \right) \right]\div \left( 2\dfrac{17}{18}-3\dfrac{15}{18} \right)$
      ​ $=\left( 1\dfrac{3}{4}-8 \right)\div \left( -\dfrac{8}{9} \right)$
      ​ $=\dfrac{225}{32}$.
  14. 计算:$\left( -2\dfrac{3}{4} \right)-\left( +3\dfrac{1}{3} \right)-\left( +1.25 \right)-\left( -\dfrac{1}{3} \right)$.

    【答案】$-7$.

    • 原式$=\left( -2\dfrac{3}{4} \right)+\left( -3\dfrac{1}{3} \right)+\left( -\dfrac{5}{4} \right)+\dfrac{1}{3}$
      ​ $=\left[ \left( -2\dfrac{3}{4} \right)+\left( -\dfrac{5}{4} \right) \right]+\left[ \left( -3\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{1}{3} \right]$
      ​ $=(-4)+(-3)$
      ​ $=-7$
  15. 计算:$48\dfrac{3}{5}-18\dfrac{1}{4}-1\dfrac{1}{3}+0.25+3\dfrac{2}{3}-2\dfrac{1}{3}-30\dfrac{3}{5}$.

    【答案】$0$.

    • 原式$=48\dfrac{3}{5}-30\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}-18\dfrac{1}{4}-1\dfrac{1}{3}+3\dfrac{2}{3}-2\dfrac{1}{3}$
      ​ $=18-18+3\dfrac{2}{3}-3\dfrac{2}{3}$
      ​ $=0$
  16. 计算:$-1\dfrac{1}{6}-2\dfrac{2}{3}+4\dfrac{4}{5}-5\dfrac{1}{3}+1\dfrac{1}{6}-3.8$.

    【答案】$-7$

    • 原式$=(-1\dfrac{1}{6}+1\dfrac{1}{6})+(-2\dfrac{2}{3}-5\dfrac{1}{3})+(4\dfrac{4}{5}-3.8)$
      ​ $=-8+1$
      ​ $=-7$.
  17. 计算:$\left( 17\dfrac{7}{27}+27\dfrac{7}{17}-11\dfrac{37}{39} \right)\div \left( 13\dfrac{12}{17}+8\dfrac{17}{27}-5\dfrac{38}{39} \right)$.

    【答案】$2$.

    • 原式$=\left( 16\dfrac{34}{27}+26\dfrac{24}{17}-10\dfrac{76}{39} \right)\div \left( 13\dfrac{12}{17}+8\dfrac{17}{27}-5\dfrac{38}{39} \right)=2$.
      原式$=(16 \dfrac{34}{27}+26 \dfrac{24}{17}-10 \dfrac{76}{39}) \div A=2A \div A=2$,
      其中$A=8 \dfrac{17}{27}+13 \dfrac{12}{17}-5 \dfrac{38}{39}$.
  18. 计算:
    $\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)$

    【答案】$\dfrac{1}{5}$.

    • 设$a=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$,$b=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$,
      则原式$=(1+b)a-(1+a)b$
      ​ $=a+ab-b-ab$
      ​ $=a-b$
      ​ $=\dfrac{1}{5}$.
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THE END
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