2022寒兴趣三阶第2讲 整式的运算

  1. 已知多项式:${{a}^{3}}b+2{{a}^{2}}{{b}^{3}}-1000{{a}^{5}}{{b}^{6}}-10a{{b}^{2}}-4$.
    (1)它是关于$a$,$b$的$\underline{\hspace{3em}}$次$\underline{\hspace{3em}}$项式; 它是关于$a$的$\underline{\hspace{3em}}$次$\underline{\hspace{3em}}$项式.
    (2)次数最高项为$\underline{\hspace{5em}}$.
    (3)系数最小项为$\underline{\hspace{5em}}$.
    (4)按$a$的降幂排序$\underline{\hspace{15em}}$.
    (5)按$b$的升幂排序$\underline{\hspace{15em}}$.

    【答案】见解析

    • (1)十一、五、五、五
      (2)$-1000{{a}^{5}}{{b}^{6}}$
      (3)$-1000{{a}^{5}}{{b}^{6}}$
      (4)$-1000{{a}^{5}}{{b}^{6}}+{{a}^{3}}b+2{{a}^{2}}{{b}^{3}}-10a{{b}^{2}}-4$
      (5)$-4+{{a}^{3}}b-10a{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}{{b}^{3}}-1000{{a}^{5}}{{b}^{6}}$
  2. 已知$A=2{{x}^{2}}-3xy+2{{y}^{2}}\ \ \ B=2{{x}^{2}}+xy-3{{y}^{2}}$,求$A+B$,$2A-3B$,$A-(B-2A)$.

    【答案】$4{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}$;$-2{{x}^{2}}-9xy+13{{y}^{2}}$;$4{{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}$.

    • $A+B=4{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}$
      $2A-3B=-2{{x}^{2}}-9xy+13{{y}^{2}}$
      $A-\left( B-2A \right)=3A-B=4{{x}^{2}}-10xy+9{{y}^{2}}$.
  3. 已知$A={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$,$B={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$,如果$2A-3B+C=0$,求$C$的表达式.

    【答案】$C={{a}^{2}}+10ab+{{b}^{2}}$.

    • $2A-3B+C=0$,
      ∴$2\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)-3\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)+C=0$,
      ∴$C=3\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)-2\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{2}}+10ab+{{b}^{2}}$.
      所以$C$的表达式是${{a}^{2}}+10ab+{{b}^{2}}$.
  4. 若$a$是绝对值等于$4$的有理数,$b$是倒数等于$-2$的有理数.求代数式$3{{a}^{2}}b-\left[ 2{{a}^{2}}b-\left( 2ab-{{a}^{2}} \right)-4{{a}^{2}} \right]-ab$的值.

    【答案】$38$或$42$.

    • 由题意可知,$|a|=4$,$\dfrac{1}{b}=-2$.
      得$a=\pm 4$,$b=-\dfrac{1}{2}$,
      原式$=3{{a}^{2}}b-\left[ 2{{a}^{2}}b-2ab+{{a}^{2}}-4{{a}^{2}} \right]-ab$
      $=3{{a}^{2}}b-2{{a}^{2}}b+2ab-{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}-ab$
      $={{a}^{2}}b+ab+3{{a}^{2}}$.
      当$a=4$,$b=-\dfrac{1}{2}$时,
      原式$={{4}^{2}}\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)+4\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)+3\times {{4}^{2}}$
      $=-8-2+48$
      $=38$,
      当$a=-4$,$b=-\dfrac{1}{2}$时,
      原式$={{\left( -4 \right)}^{2}}\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)+\left( -4 \right)\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)+3\times {{\left( -4 \right)}^{2}}$
      $=-8+2+48$
      $=42$.
      故答案为$38$或$42$.
  5. 已知$a$、$b$、$c$满足:①$5{{\left( a+3 \right)}^{2}}+2\left| b-2 \right|=0$;②$\dfrac{1}{3}{{x}^{2-a}}{{y}^{1+b+c}}$是$7$次单项式;

    求多项式${{a}^{2}}b-\left[ {{a}^{2}}b-\left( 2abc-{{a}^{2}}c-3{{a}^{2}}b \right)-4{{a}^{2}}c \right]-abc$的值.

    【答案】$-75$

    • ∵$5{{\left( a+3 \right)}^{2}}+2\left| b-2 \right|=0$
      ∴$a=-3$,$b=2$
      又∵$\dfrac{1}{3}{{x}^{2-a}}{{y}^{1+b+c}}$是$7$次单项式
      ∴$2-a+1+b+c=7$
      ∴$2+3+1+2+c=7$
      ∴$c=-1$
      原式$={{a}^{2}}b-\left( {{a}^{2}}b-2abc+{{a}^{2}}c+3{{a}^{2}}b-4{{a}^{2}}c \right)-abc$
      $={{a}^{2}}b-{{a}^{2}}b+2abc-{{a}^{2}}c-3{{a}^{2}}b+4{{a}^{2}}c-abc$
      $=-3{{a}^{2}}b+3{{a}^{2}}c+abc$
      $=-3\times {{\left( -3 \right)}^{2}}\times 2+3\times {{\left( -3 \right)}^{2}}\times \left( -1 \right)+\left( -3 \right)\times 2\times \left( -1 \right)$
      $=-75$
  6. 计算下列各式:
    (1)${{\left( 2ax \right)}^{2}}\cdot \left( -\dfrac{2}{5}{{a}^{4}}{{x}^{3}}{{y}^{3}} \right)\div \left( -\dfrac{1}{2}{{a}^{5}}x{{y}^{2}} \right)$.
    (2)${{\left( -3{{m}^{3}}{{n}^{2}} \right)}^{2}}\cdot {{\left( 4{{n}^{3}} \right)}^{2}}\div {{\left( -3{{m}^{2}}n \right)}^{3}}$.
    (3)${{\left( 3{{a}^{2}}b \right)}^{3}}\cdot {{\left( -2a{{b}^{4}} \right)}^{2}}\div \left( 6{{a}^{5}}{{b}^{3}} \right)$.
    (4)${{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}{{y}^{3}} \right)}^{2}}\cdot \left( -4xy \right)\div \left( \dfrac{3}{4}{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right)$.

    【答案】见解析

    • (1)$\dfrac{16}{5}a{{x}^{4}}y$.
      (2)$-\dfrac{16}{3}{{n}^{7}}$.
      (3)$18{{a}^{3}}{{b}^{8}}$.
      (4)$-\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}{{y}^{3}}$.
  7. 计算下列各式:
    (1)$(x+y)(x-2y)$.
    (2)$(-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5)(2{{x}^{2}}-3x+1)$.
    (3)$\left( \dfrac{3}{5}{{a}^{8}}{{b}^{2}}-\dfrac{6}{5}{{a}^{3}}{{b}^{4}}-1.8{{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)\div 0.6a{{b}^{2}}$.

    【答案】(1)${{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}$.
    $\qquad\qquad$(2)$-2{{x}^{5}}+7{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+15x-5$.
    $\qquad\qquad$(3)${{a}^{7}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-3ab$.

    • (1)原式$={{x}^{2}}-2xy+xy-2{{y}^{2}}$
      $={{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}$
      (2)原式$=-2{{x}^{5}}+3{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+4{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-10{{x}^{2}}+15x-5$
      $=-2{{x}^{5}}+7{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+15x-5$
      (3)原式$={{a}^{7}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-3ab$.
  8. 若$(x^2+px+8)(x^2-3x+q)$的乘积中不含$x^2$和$x^3$,求$p$,$q$的值.

    【答案】$\begin{cases}p=3 \\ q=1 \end{cases}$

    • 将原式展开得
      $(x^2+px+8)(x^2-3x+q)$$=x^4+(p-3)x^3+(q-3p+8)x^2+(pq-24x)+8q$
      因为积中不含$x^2$和$x^3$,所以$\begin{cases}p-3=0 \\ q-3p+8=0 \end{cases}$,解得$\begin{cases}p=3 \ q=1 \end{cases}$.
      故答案为:$\begin{cases}p=3 \\ q=1 \end{cases}$.
  9. 若不论$x$取何值,等式$\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+n \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4x-1$恒成立,求$m$,$n$.

    【答案】$m=-3$,$n=-1$.

    • $(x+1)({{x}^{2}}+mx+n)={{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+(m+n)x+n$
      因为不论$x$取何值,等式都成立,
      所以$m+1=-2$,$m+n=-4$,$n=-1$.即$m=-3$,$n=-1$.
  10. 求下列算式的商式和余式:
    (1)求$\left( {{x}^{2}}-1 \right)\div \left( x-1 \right)$的商式和余式.
    (2)求$\left( {{x}^{3}}-1 \right)\div \left( x-1 \right)$的商式和余式.
    (3)求$\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x-1 \right)\div \left( x+1 \right)$的商式和余式.
    (4)求$({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x-1)\div (3{{x}^{2}}-2x+1)$的商式$q(x)$和余式$r(x)$.

    【答案】(1)商式为$x+1$,余式为$0$.
    $\qquad\qquad$(2)商式为${{x}^{2}}+x+1$,余式为$0$.
    $\qquad\qquad$(3)商式为${{x}^{2}}-4x+3$,余式为$-4$.
    $\qquad\qquad$(4)$q(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}$,$r(x)=-\dfrac{26}{9}x-\dfrac{2}{9}$.

    • (1)${{x}^{2}}-1=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$,商式为$x+1$,余式为$0$.
      (2)${{x}^{3}}-1=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( x-1 \right)$,商式为${{x}^{2}}+x+1$,余式为$0$​.
      (3)${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x-1=\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\left( x+1 \right)-4$,商式为${{x}^{2}}-4x+3$,余式为$-4$.
      (4)由大除法可得,商式$q(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}$,$r(x)=-\dfrac{26}{9}x-\dfrac{2}{9}$.
  11. 已知$2{{x}^{2}}+5x-6=0$,求$4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-7x+2010$的值.

    【答案】$2016$.

    • 直接用大除法
      原式$=2x\left( 2{{x}^{2}}+5x-6 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+5x-6 \right)+2016=2016$.
  12. 已知${{a}^{3}}+2a=-2$,则$3{{a}^{6}}+12{{a}^{4}}-{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-2a-4=\underline{\hspace{3em}}$.

    【答案】$10$

    • 法1:直接大除法
      原式$=(a^3+2a+2)(3a^3+6a-7)+10=10$
      法2:降次,由${{a}^{3}}+2a=-2$,得${{a}^{3}}=-2a-2$
      于是$3{{a}^{6}}+12{{a}^{4}}-{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-2a-4$
      $=3{{\left( {{a}^{3}} \right)}^{2}}+12{{a}^{3}}a-{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}-2a-4$
      $=3{{\left( -2a-2 \right)}^{2}}-24\left( a+1 \right)a+2a+2+12{{a}^{2}}-2a-4$
      $=3\left( 4{{a}^{2}}+8a+4 \right)-24{{a}^{2}}-24a+12{{a}^{2}}-2$
      $=10$.
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THE END
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