2022寒兴趣三阶第4讲 不等式和不等式组的解法

【答案】见解析

• （1）需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”．

  
  （2)需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”．

  
  （3)需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”．

  
  （4)需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”．

  

求下列不等式的整数解：
(1)$-2\dfrac{1}{3}<x\leqslant 1$．
(2)$-\dfrac{5}{2}\leqslant x<0.5$．
(3)$-5<x<1$．

【答案】见解析

• （1）不等式的整数解为$-2$，$-1$，$0$，$1$．
  （2）不等式的整数解为$-2$，$-1$，$0$．
  （3）不等式的整数解为$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$．

【答案】（1）$x>-7$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x < \dfrac{26}{5}$．

• （1）去括号得：$3-7x<12-5x+5$

  移项合并得：$2x>-14$

  解得$x>-7$．
  （2）去括号得：$0.5x+2-0.6x\gt0.4x-0.6$

  移项合并得：$-0.5x\gt-2.6$

  解得：$x\lt\dfrac{26}{5}$．

解下列不等式：
(1)$\dfrac{5x-6}{3}+\dfrac{6-3x}{2}>8$．
(2)$\dfrac{2x+1}{3}\geqslant \dfrac{x-3}{2}+1$．
(3)$\dfrac{x+1}{3} < x-1$．

【答案】（1）$x>42$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x\geqslant -5$．
$\hspace{4.3em}$（3）$x>2$．

• （1）$\dfrac{5x-6}{3}+\dfrac{6-3x}{2}>8$

  $\qquad\quad$$\begin{align}
  2(5x-6)+3(6-3x) &> 48 \\
  10x-12+18-9x &>48 \\
  x+6 &>48 \\
  x &>42 \\
  \end{align}$
  （2）$\dfrac{2x+1}{3}\geqslant \dfrac{x-3}{2}+1$
  $\qquad\quad$$\begin{align}
  2(2x+1) &\geq 3(x-3)+6 \\
  4x+2 &\geq 3x-9+6 \\
  4x-3x &\geq -9+6-2 \\
  x &\geq -5 \\
  \end{align}$
  （3）$\dfrac{x+1}{3} < x-1$
  $\qquad\quad$$\begin{align}
  x+1 &<3(x-1) \\
  x+1 &<3x-3 \\\\ 3x-x &>1+3 \\
  2x &>4 \\
  x &>2 \\
  \end{align}$

【答案】（1）$-2$
$\hspace{4.3em}$（2）$3$

• （1）解不等式得：$x<-\dfrac{4}{3}$，最大的整数解是$x=-2$．
  （2）由已知得不等式的解集为$x\leqslant 2$，所有正整数解为$1$、$2$，和是$3$．

【答案】（1）$-1\leqslant x<3$
$\hspace{4.3em}$（2）$-1\leqslant x<2$．

• （1）由题知$\begin{cases}x<3 \\ x\geqslant -1 \\ \end{cases}$，

  ∴$-1\leqslant x<3$．

  $\begin{cases} x-3 < 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ \end{cases}$，

  解不等式$x-3 < 0$，得：$x < 3$，

  解不等式$x+1\geqslant 0$，得：$x\geqslant -1$，

  故不等式组的解集为：$-1\leqslant x < 3$，

  故答案为：$-1\leqslant x < 3$．

  （2）不等式组可化为：$\begin{cases}3\left( 5x+1 \right)+6\geqslant 2\left( 2x-1 \right) \ x<2 \end{cases}$，

  整理得，$\begin{cases}x\geqslant 1 \\ x<2 \end{cases}$，

  即不等式组的解集为：$-1\leqslant x<2$．

解下列不等式组：

(1)$\begin{cases}3(x-1)+2\geqslant 2(x+1)+1 \\ x-5 < 2(3x-1) \\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases}x-3\left( x-2 \right)\geqslant 4 \\ \dfrac{1+2x}{3}>x-1 \\ \end{cases}$
(3)$\begin{cases}2x-3\leqslant x+2 \\ \dfrac{x}{4}-\dfrac{3x-1}{2}\leqslant 2-\dfrac{x}{3} \\ \end{cases}$
(4)$\begin{cases}\dfrac{3x-5}{2}-\dfrac{2x+1}{x}>x \\ \dfrac{1}{2}\left[ x-2\left( x+3 \right) \right]<1\\ \end{cases}$

【答案】（1）$x\geqslant 4$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x\leqslant 1$．
$\hspace{4.3em}$（3）$-\dfrac{18}{11}\leqslant x\leqslant 5$
$\hspace{4.3em}$（4）不等式无解．

• （1）解不等式①，得$x\geqslant 4$；解不等式②，得$x>-\dfrac{3}{5}$．则可得不等式组的解集是$x\geqslant 4$．

  （2）解不等式①，得$x\leqslant 1$；解不等式②，得$x<4$．在数轴上表示不等式①、②的解集，可得不等式组的解集$x\leqslant 1$．
  （3）解不等式①，得$x\leqslant 5$；解不等式②，得$x\geqslant -\dfrac{18}{11}$，不等式组的解集$-\dfrac{18}{11}\leqslant x\leqslant 5$​.
  （4）不等式①，得$x<-17$；解不等式②，得$x>-8$，这个不等式无解．

求不等式组的整数解：$\begin{cases}5x-2>3( x-2 ) \\ \dfrac{1}{2}x-1\leqslant 7-\dfrac{3}{2}x \\ \end{cases}$．

【答案】 $-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$．

• 解不等式组$\begin{cases}5x-2>3x-6 \\ \dfrac{1}{2}x-1\leqslant 7-\dfrac{3}{2}x \\ \end{cases}$，

  解得$\begin{cases}x>-2 \\ x\leqslant 4 \\ \end{cases}$，

  不等式组的解集为：$-2 < x\leqslant 4$，

  整数解为：$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$，$4$．

求不等式组$\begin{cases}1-2\left( x-1 \right)\leqslant 5 \\ \dfrac{3x-2}{2}<x+\dfrac{1}{2} \\ \end{cases}$的整数解．

【答案】整数解为：$-1$、$0$、$1$、$2$．

• 解不等式组$\begin{cases}1-2x+2\leqslant 5 \\ 3x-2 < 2x+1 \\ \end{cases}$解得$\begin{cases}x\geqslant -1 \\ x < 3 \\ \end{cases}$不等式组的解集为：$-1\leqslant x < 3$

  整数解为：$-1$，$0$，$1$，$2$．

解下列不等式：
(1)$\left( 3x-1 \right)\left( 5x-2 \right)<0$．
(2)$\left( 2-3x \right)\left( 5x+1 \right) < 0$．
(3)$\left( 2-x \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+5 \right)>0$．
(4)$\left( 5x-2 \right)\left( 7x+4 \right)\left( 9x+6 \right)\left( 11x-8 \right)>0$．
(5)${{\left( x+1 \right)}^{3}}{{\left( 9x+2 \right)}^{2}}\left( 3x+7 \right)<0$．
(6)${{(x+3)}^{2015}}{{(2x+7)}^{2016}}{{(3x+11)}^{2017}}>0$．

【答案】见解析

• （1）$\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{2}{5}$．
  （2）$x>\dfrac{2}{3}$或$x < -\dfrac{1}{5}$．
  （3）$x<-\dfrac{5}{3}$或$-\dfrac{1}{2}<x<2$．
  （4）$x < -\dfrac{2}{3}$或$-\dfrac{4}{7} < x < \dfrac{2}{5}$或$x>\dfrac{8}{11}$．
  （5）$-\dfrac{7}{3}<x<-1$．
  （6）$x < -\dfrac{11}{3}$或$x>-3$．

【答案】（1）$ – 5 < x < 3$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x\leq -1$或$x>7$．
$\hspace{4.3em}$（3）$-7\leqslant x<-2$或$1\leqslant x<3$．
$\hspace{4.3em}$（4）$-\dfrac{9}{2}\leqslant x<-2$．

• （1）$(x+5)(x-3)<0$，所以$ – 5 < x < 3$．
  （2）$(x+1)(x-7)\geq 0$，且$x\neq 7$，所以$x\leq -1$或$x>7$．
  （3）$(x-1)(x+7)(x-3)(x+2)\leq 0$，$-7\leqslant x<-2$或$1\leqslant x<3$．
  （4）化简得${\dfrac{2x+9}{x+2}\leqslant0}$，所以$-\dfrac{9}{2}\leqslant x<-2$．

【答案】$a=29$．

• ∵$1<k<n$

  ∴$\dfrac{\left( 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n \right)-n}{n-1}<\dfrac{\left( 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n \right)-k}{n-1}<\dfrac{\left( 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n \right)-1}{n-1}$．

  即$\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( n-1 \right)n}{n-1}<10<\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( n+2 \right)\left( n-1 \right)}{n-1}$，$\dfrac{n}{2}<10<\dfrac{n+2}{2}$，$n<20<n+2$，$n=19$．

  于是$\dfrac{\left( 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +19 \right)-k}{19-1}=10$，$\dfrac{1}{2}\times 19\times 20-k=180$，$k=10$．

  故$a=n+k=19+10=29$．

设$a$，$b$是正整数，且$\dfrac{5}{9}b<a<\dfrac{4}{7}b$，求$b$最小时的分数$\dfrac{a}{b}$．

【答案】$\dfrac{a}{b}=\dfrac{9}{16}$．

• 由条件可得$5b<9a$，$7a<4b$，

  $\because a$，$b$是正整数　

  $\therefore5b+1\leqslant 9a$，$7a\leqslant 4b-1$，

  $\therefore\dfrac{5b+1}{9}\leqslant a\leqslant \dfrac{4b-1}{7}$，

  故$\dfrac{5b+1}{9}\leqslant \dfrac{4b-1}{7}$，$b\geqslant 16$，$b$的最小值为$16$，

  当$b=16$时，$a=\dfrac{4b-1}{7}=9$，所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{9}{16}$.