2022寒兴趣三阶第5讲 绝对值的化简

  1. 下列说法中正确的个数是( ).

    ①当一个数由小变大时,它的绝对值也由小变大;

    ②没有最大的非负数,也没有最小的非负数;

    ③不相等的两个数,它们的绝对值一定也不相等;

    ④只有负数的绝对值等于它的相反数.

    A. $0$
    B. $1$
    C. $2$
    D. $3$

    【答案】A

    • $4$个全错,选择$\text{A}$

      ①中数为负数时,绝对值由大变小

      ②中最小的非负数为$0 $

      ③两数互为相反数时,绝对值相等

      ④$0$的绝对值也等于它的相反数.

  2. 若$ab<{}|ab|$,则下列结论正确的是( ).
    A. $a<{}0$,$b<{}0$
    B. $a>0$,$b<{}0$
    C. $a<{}0$,$b>0$
    D. $ab<{}0$

    【答案】D

    • 答案$\text{BC}$不完善,选择$\text{D}$.
  3. 有理数$a$与$b$满足$|a|>|b|$,则下面答案正确的是( ).
    A. $a>b$
    B. $a=b$
    C. $a<{}b$
    D. 无法确定

    【答案】D

    • 不能判断$a$、$b$的正负,故选$\rm {D}$.
  4. 若$a>b$且$|a|<{}|b|$,则下列说法正确的是( ).
    A. $a$一定是正数
    B. $a$一定是负数
    C. $b$一定是正数
    D. $b$一定是负数

    【答案】D

    • 由分析可知$a$,$b$中的较小数$b$一定是负数.
  5. 如果$\left| x \right|\leqslant 3$,$\left| y \right|\leqslant 1$,$\left| z \right|\leqslant 4$,且$\left| x-2y+z \right|=9$,则${{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{6}}=$$\underline{\hspace{3em}}$.

    【答案】$36864$

    • 只要$\left| x \right|<{}3$,$\left| y \right|<{}1$和$\left| z \right|<{}4$中至少有一个成立,

      则$\left| x-2y+z \right|\leqslant \left| x \right|+2\left| y \right|+\left| z \right|<{}9$与$\left| x-2y+z \right|=9$不符,

      所以只能$\left| x \right|=3$,$\left| y \right|=1$且$\left| z \right|=4$才能使$\left| x-2y+z \right|=9$成立,

      所以${{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{6}}={{\left| x \right|}^{2}}{{\left| y \right|}^{4}}{{\left| z \right|}^{6}}={{3}^{2}}\times {{1}^{4}}\times {{4}^{6}}=9\times 1\times 4096=36864$.

  6. 已知$|x-y|=y-x$,且$|x|=3$,$|y|=4$,求${{(x+y)}^{3}}$的值.

    【答案】$343$或$1$.

    • $|x-y|=y-x$,$x-y\mathsf{\leqslant }0$,且$x=\pm 3$,$y=\pm 4$,

      当$x=3$,$y=4$,$x-y\mathsf{\leqslant }0$,所以${{(x+y)}^{3}}={{7}^{3}}=343$;

      当$x=3$,$y=-4$,$x-y>0$,不满足题意;

      当$x=-3$,$y=4$,$x-y\mathsf{\leqslant }0$,所以${{(x+y)}^{3}}={{1}^{3}}=1$;

      当$x=-3$,$y=-4$,$x-y>0$,不满足题意.

  7. 解下列绝对值方程:
    (1)$|5x+6|=6x-5$.
    (2)$\dfrac{|x+1|-1}{2}-1=\dfrac{2-|x+1|}{3}$.
    (3)$||2x-1|-1|=2$.
    (4)$|2x-1|=x-2$.

    【答案】(1)$x=11$.
    $\hspace{4.3em}$(2)$x=\dfrac{8}{5}$或$x=-\dfrac{18}{5}$.
    $\hspace{4.3em}$(3)$x=-1$或$x=2$.
    $\hspace{4.3em}$(4)无解.

    • (1)
      (2)
      (3)
      (4)
  8. 若$|a|-|b|=1$,且$3|a|=4|b|$,则在数轴上表示$a$,$b$两数对应的点的距离是$\underline{\hspace{3em}}$.

    【答案】$1$或$7$

    • 如图,由题意$\left| a \right|=1+\left| b \right|$,所以$3\left| a \right|=3+3\left| b \right|=4\left| b \right|$,

      所以$\left| b \right|=3$,$b=\pm 3$.$\left| a \right|=1+\left| b \right|=4$,所以$a=\pm 4$,故$\left| a-b \right|=1$或$7$.

      img

  9. 已知$a$、$b$、$c$、$d$都是整数,且$\left| a+b \right|+\left| b+c \right|+\left| c+d \right|+\left| d+a \right|=2$,则$\left| a+d \right|=$$\underline{\hspace{3em}}$.

    【答案】$0$或$1$

    • 绝对值具有非负性,且$a$、$b$、$c$、$d$都是整数,那么

      (1)$2=2+0+0+0$,四个绝对值具有对称性,不妨设$|a+b|=2$,则

      $b+c=0$、$c+d=0$、$d+a=0$,易得$a+b=0$,矛盾,故此情况不成立

      (2)$2=1+1+0+0$,故$|a+d|$只能为$0$或$1$

      若$|a+d|=0$,构造:$a=0$、$b=1$、$c=0$、$d=0$,成立

      若$|a+d|=1$,构造:$a=0$、$b=0$、$c=0$、$d=1$,成立

      故答案为:$1$或$0$.

  10. 已知$x <0< z$,$xy>0$,$\left| y \right|>\left| z \right|>\left| x \right|$,那么$\left| x+z \right|+\left| y+z \right|-\left| x-y \right|$的值( ).
    A. 是正数
    B. 是负数
    C. 是零
    D. 不能确定符号

    【答案】C

    • 由已知条件,可以数轴上标出$x$,$y$,$z$三数,如图.

      img

      所以$x+z>0$,$y+z < 0$,$x-y>0$.

      所以原式$=x+z-y-z-x+y=0$.

      所以选$\text{C}$.

  11. 若$m=-1998$,则$\left| {{m}^{2}}+11m-999 \right|-\left| {{m}^{2}}+22m+999 \right|+20=$$\underline{\hspace{3em}}$.

    【答案】$20000$

    • 当$m=-1998$时,有

      ${{m}^{2}}+11m-999={{(m+\dfrac{11}{2})}^{2}}-999-{{(\dfrac{11}{2})}^{2}}>0$,

      ${{m}^{2}}+22m+999={{(m+11)}^{2}}+999-{{11}^{2}}>0$.

      ∴$\left| {{m}^{2}}+11m-999 \right|-\left| {{m}^{2}}+22m+999 \right|+20$

      $={{m}^{2}}+11m-999-({{m}^{2}}+22m+999)+20$

      $=-11m-1998+20$

      $=20000$.

  12. 若$x$,$y$,$z$为整数,且${{\left| x-y \right|}^{2003}}+{{\left| z-x \right|}^{2003}}=1$,则$\left| z-x \right|+\left| x-y \right|+\left| y-z \right|$的值是多少?

    【答案】$2$.

    • $\left| x-y \right|\geqslant 0$,${{\left| x-y \right|}^{2003}}\geqslant 0$,同理${{\left| z-x \right|}^{2003}}\geqslant 0$,所以一个为$0$,一个为$1$,也就是说$x$,$y$,$z$有两个相同,另一个和他们相差$1$.故三者两两取差的绝对值应该有$2$个$1$和$1$个$0$,所以$\left| z-x \right|+\left| x-y \right|+\left| y-z \right|=2$.当然也可以分类讨论,更利于学生接受.
  13. 求满足$|ab|+|a+b|=1$的所有整数对$(a,b)$.

    【答案】$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$.

    • 因为$|ab | $和$|a+b|$都是非负,

      所以有$\begin{cases}|ab|=1 \ |a+b|=0 \ \end{cases}$或$\begin{cases}|ab|=0 \ |a+b|=1 \ \end{cases}$,

      由$\begin{cases}|ab|=1 \ |a+b|=0 \ \end{cases}$可判断$a$,$b$为相反数,

      所以$|ab|={{a}^{2}}={{b}^{2}}$,

      所以有解$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$和$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$,

      由$\begin{cases}|ab|=0 \ |a+b|=1 \ \end{cases}$可判断$a=0$或$b=0$,对应的另一个数只能是$1$或$-1$,

      所以有解$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$,

      $\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$.

      故答案为$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$,$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$.

  14. 解下列绝对值方程:
    (1)$|4x+3|=2x+9$.
    (2)$|x+3|+|3-x|=\dfrac{9}{2}|x|+5$.
    (3)$|x-|3x+1||=4$.

    【答案】(1)$x=3$或$x=-2$.
    $\hspace{4.3em}$(2)$x=\dfrac{2}{9}$或$x=-\dfrac{2}{9}$.
    $\hspace{4.3em}$(3)$x=\dfrac{3}{2}$或$x=-\dfrac{5}{4}$.

    • (1)
      (2)
      (3)
  15. 证明恒等式:$\left| \left| x-2 \right|-1 \right|=\left| x-3 \right|-\left| x-2 \right|+\left| x-1 \right|-1$.

    【答案】证明过程见解析.

    • $\left| x-2 \right|=0$可得到$x=2$,

      $\left| x-2 \right|-1=0$可得到$x=1$,$x=3$.

      所以应该在$x\leqslant 1$,$1 < x\leqslant 2$,$2 < x\leqslant 3$,$x>3$分段讨论.

      当$x\leqslant 1$时,左边$=\left| 2-x-1 \right|=1-x$,右边$=3-x+x-2+1-x-1=1-x$.所以左边=右边.

      当$1 < x\leqslant 2$时,左边$=\left| 2-x-1 \right|=x-1$.右边$=3-x+x-2+x-1-1=x-1$.所以左边=右边.

      当$2 < x\leqslant 3$时,左边$=\left| x-2-1 \right|=3-x$.右边$=3-x-x+2+x-1-1=3-x$.所以左边=右边.

      当$x>3$时,左边$=\left| x-2-1 \right|=x-3$.右边$=x-3-x+2+x-1-1=x-3$.所以左边=右边.

      所以对任意$x$都满足$\left| \left| x-2 \right|-1 \right|=\left| x-3 \right|-\left| x-2 \right|+\left| x-1 \right|-1$.

  16. 解方程:$|x-1|+|x-2|+|x-3|=6$.

    【答案】$x=0$或$x=4$

    • $x\leqslant 1$时,$x+1-x+2-x+3=6$,

      解得$x=0$,

      $1<x\leqslant 2$时,$x-1-x+2-x+3=6$.

      解得$x=-2$(舍).

      $2<x\leqslant 3$时,$x-1+x-2-x+3=6$.

      解得$x=6$(舍).

      $x>{}3$时,$x-1+x-2+x-3=6$,

      解得$x=4$.

      综上所述$x=0$或$x=4$.

  17. 解下列方程:
    (1)$|y+3|-|10-y|=3$.
    (2)$|2x-1|-|2x-7|=0$.

    【答案】(1)$y=5$.
    $\hspace{4.3em}$(2)$x=2$.

    • (1)
      (2)
  18. 不等式$|x+1|+|x-2|<{}7$的整数解有$\underline{\hspace{3em}}$个.

    【答案】$6$

    • 利用绝对值的几何意义来解,$|x+1|+|x-2|<{}7$的整数解表示数轴上到$-1$和$2$的距离之和小于$7$的点集合,利用数轴容易找到满足条件的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$共$6$个.

      故答案为:$6$.

  19. 解下列方程:
    (1)$|3x+1|-|3x-4|<{}1$.
    (2)$|4x-5|-4|x-3|>5$.

    【答案】(1)$x<{}\dfrac{2}{3}$.
    $\hspace{4.3em}$(2)$x>\dfrac{11}{4}$.

    • (1)
      (2)
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THE END
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