【初数】因式分解训练第8篇 因式定理法

【答案】$\left( x-1 \right)\left( {x}^{2}+5x+5 \right)$

• 有理根只可能为$\pm 1$，$\pm 5$，当$x=1$时，原式$=0$，所以$x-1$是原式的因式，那么
  原式$=x^3-x^2+5x^2-5x+5x-5$
  $\hspace{2em}=x^2\left(x-1\right)+5x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-1 \right)\left( {x}^{2}+5x+5 \right)$

【答案】$\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)$

• 有理根只可能为$\pm 1$，$\pm 2$，$\pm 3$，$\pm 4$，$\pm 6$，$\pm 8$，$\pm 12$，$\pm 24$．
  经检验，$2$是根，所以原式有因式$x-2$，那么
  原式$=\left( {x}^{3}-2{x}^{2} \right)-\left( 7{x}^{2}-14x \right)+\left( 12x-24 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( {x}^{2}-7x+12 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)$

【答案】$\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$

• 有理根只能为$\pm 1$，$\pm2$，$\pm 3$，$\pm 6$，当$x=-1$时，原式$=0$，所以$x+1$是原式的因式，那么
  原式$=\left( {x}^{3}+{x}^{2} \right)+\left( 5{x}^{2}+5x \right)+\left( 6x+6 \right)$
  $\hspace{2em}={x}^{2}\left( x+1 \right)+5x\left( x+1 \right)+6\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left( {x}^{2}+5x+6 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$．

【答案】$\left( x-2 \right)\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)$

• 有理根只可能是$\pm 1$、$\pm 2$、$\pm \dfrac{1}{2}$，当$x=-1$时，原式$=0$，所以$x+1$是原式的因式，那么
  原式$=\left( 2{x}^{3}+2{x}^{2} \right)-\left( 3{x}^{2}+3x \right)-\left( 2x+2 \right)$
  $\hspace{2em}=2{x}^{2}\left( x+1 \right)-3x\left( x+1 \right)-2\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 2{x}^{2}-3x-2 \right)\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-2 \right)\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)$

【答案】$\left( 2x-3 \right)\left( {x}^{2}-x+1 \right)$

• 有理根只可能是$\pm 1$、$\pm 3$、$\pm \dfrac{1}{2}$、$\pm \dfrac{3}{2}$，当$x=\dfrac{3}{2}$时，原式$=0$，所以$2x-3$是原式的因式，那么
  原式$=\left( 2{x}^{3}-3{x}^{2} \right)-\left( 2{x}^{2}-3x \right)+\left( 2x-3 \right)$
  $\hspace{2em}={x}^{2}\left( 2x-3 \right)-x\left( 2x-3 \right)+\left( 2x-3 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 2x-3 \right)\left( {x}^{2}-x+1 \right)$

【答案】$\left( 3x-2 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$

• 有理根只可能是$\pm 1$，$\pm 2$，$\pm \dfrac{1}{3}$，$\pm \dfrac{2}{3}$．当$x=\dfrac{2}{3}$时，原式$=0$，所以$3x-2$是原式的因式，那么
  原式$=\left( 3{x}^{3}-2{x}^{2} \right)+\left( 3{x}^{2}-2x \right)+\left( 3x-2 \right)$
  $\hspace{2em}={x}^{2}\left( 3x-2 \right)+x\left( 3x-2 \right)+\left( 3x-2 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 3x-2 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$

【答案】${\left( x-1 \right)}^{2}{\left( x+2 \right)}^{2}$

• 有理根只能为$\pm 1$，$\pm2$，$\pm 4$，当$x=1$时，原式$=0$，所以$x-1$是原式的因式，那么
  原式$=x^4-x^3+3x^3-3x^2-\left(4x-4\right)$
  $\hspace{2em}=x^3\left(x-1\right)+3x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2-4\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)\left(x^3-x^2+4x^2-4x+4x-4\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)\left[x^2\left(x-1\right)+4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\right]$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)^2\left(x^2+4x+4\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)^2$

【答案】$\left( x+1 \right)\left( 2x-1 \right)\left( {x}^{2}+4 \right)$

• 当$x=-1$时，原式$=0$，所以$x+1$是原式的因式，那么
  原式$=2x^4+2x^3-x^3-x^2+8x^2+8x-4x-4$
  $\hspace{2em}=2x^3\left(x+1\right)-x^2\left(x+1\right)+8x\left(x+1\right)-4\left(x+1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left(2x^3-x^2+8x-4\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left[x^2\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)\right]$
  $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\left(x^2+4\right)$

【答案】$\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$

• 有理根只可能为$\pm 1$，$\pm 2$，$\pm \dfrac{1}{2}$，$\pm \dfrac{1}{3}$，$\pm \dfrac{2}{3}$，$\pm \dfrac{1}{9}$．当$x=-\dfrac{1}{2}$时，原式$=0$，所以$2x+1$是原式的因式，那么
  原式$=\left( 6{x}^{4}+3{x}^{3} \right)+\left( 2{x}^{3}+{x}^{2} \right)+\left( 2{x}^{2}+x \right)-\left( 4x+2 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 2x+1 \right)\left( 3{x}^{3}+{x}^{2}+x-2 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( 2x+1 \right)\left( 3x-2 \right)\left( {x}^{2}+x+1 \right)$

【答案】${\left( x+1 \right)}^{3}\left( 2{x}^{2}+x+3 \right)$

• 当$x=-1$时，原式$=0$，所以$x+1$是原式的因式，那么
  原式$=2{x}^{5}+2{x}^{4}+5{x}^{4}+5{x}^{3}+7{x}^{3}+7{x}^{2}+7{x}^{2}+7x+3x+3$
  $\hspace{2em}=2{x}^{4}\left( x+1 \right)+5{x}^{3}\left( x+1 \right)+7{x}^{2}\left( x+1 \right)+7x\left( x+1 \right)+3\left( x+1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left(2{x}^{4} +5{x}^{3}+7{x}^{2}+7x+3\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left(2{x}^{4} +2{x}^{3}+3{x}^{3}+3{x}^{2}+4{x}^{2}+4x+3x+3\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+1 \right)\left[2{x}^{3}\left( x+1 \right) +3{x}^{2}\left( x+1 \right)+4x\left( x+1 \right)+3\left( x+1 \right)\right]$
  $\hspace{2em}={\left( x+1 \right)}^{3}\left( 2{x}^{2}+x+3 \right)$

【答案】$\dfrac{1}{3}\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)\left( 3x+1 \right)$

• 当$x=-1$时，原式$=0$，所以$x+1$是原式的因式，那么
  原式$=\dfrac{1}{3}\left(3x^3-5x^2-11x-3\right)$
  $\hspace{2em}=\dfrac{1}{3}\left(3x^3+3x^2-8x^2-8x-3x-3\right)$
  $\hspace{2em}=\dfrac{1}{3}\left(x+1\right)\left(3x^2-8x-3\right)$
  $\hspace{2em}=\dfrac{1}{3}\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)\left( 3x+1 \right)$

【答案】${\left( x-y \right)}^{2}\left( 3x+y \right)$

• 当$x=y$时，原式$=0$，所以$x-y$是原式的因式，那么
  原式$=3x^3-3x^2y-2x^2y+2xy^2-xy^2+y^2$
  $\hspace{2em}=3x^2\left(x-y\right)-2xy\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-y\right)\left(3x^2-2xy-y^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(3x+y\right)$
  $\hspace{2em}={\left( x-y \right)}^{2}\left( 3x+y \right)$

【答案】$\left( x-y \right)\left( 2x-y \right)\left( 3x+2y \right)$

• 当$x=y$时，原式$=0$，所以$x-y$是原式的因式，那么
  原式$=6x^3-6x^2y+x^2y-xy^2-2xy^2+2y^3$
  $\hspace{2em}=6x^2\left(x-y\right)+xy\left(x-y\right)-2y^2\left(x-y\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-y\right)\left(6x^2+xy-2y^2\right)$
  $\hspace{2em}=\left( x-y \right)\left( 2x-y \right)\left( 3x+2y \right)$

【答案】$\left( 2x+a \right)\left( 2x+b \right)\left( 2x+c \right)$

• 当$x=-\dfrac{a}{2}$、$x=-\dfrac{b}{2}$、$x=-\dfrac{c}{2}$时，原式都$=0$，所以$2x+a$、$2x+b$、$2x+c$是原式的因式，那么
  原式$=\left( 2x+a \right)\left( 2x+b \right)\left( 2x+c \right)$