【初数】因式分解训练第9篇 待定系数法

【答案】$(x+2)$；$m=2$．

• 设另一个因式为$(x+n)$，将$3{x}^{2}+5a-m=(3x-1)(x+n)$，

  则$3{x}^{2}+5x-m=3{x}^{2}+(3n-1)x-n$，

  ∴$\begin{cases}3n-1=5 \\ -m=-n \\ \end{cases}$，解得$n=2$，$m=2$，

  ∴另一个因式为$(x+2)$，$m$的值为$2$．

已知关于$x$的二次三项式$3{x}^{2}+x+m$有一个因式是$\left( 3x-5 \right)$，则$m=$$\underline{\hspace{3em}}$，另一个因式为$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$-10$、$\left( x+2 \right)$

• 由已知可设另一个因式为$x+a$，

  则$\left( 3x-5 \right)\left( x+a \right)=3{x}^{2}+x+m$，

  ∴$3{x}^{2}+\left( 3a-5 \right)x-5a=3{x}^{2}+x+m$，

  ∴$3a-5=1$，$m=-5a$，

  解得$a=2$，$m=-10$，

  ∴另一个因式为$x+2$．

  故答案为：$-10$，$x+2$．

若${x}^{3}+3{x}^{2}-3x+k$有一个因式是$x+1$，则$k=$$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$-5$

• 依题意，原多项式当$x=-1$时，其值等于$0$，即${\left( -1 \right)}^{3}+3{\left( -1 \right)}^{2}-3\left( -1 \right)+k=0$，从而$k=-5$．

  依题意$x+1$也是多项式，

  ${\left( x+1 \right)}^{3}-\left( {x}^{3}+3{x}^{2}-3x+k \right)=6x+\left( 1-k \right)$的因式，故$1-k=6$，即$k=-5$．

  依题意可设
  ${x}^{3}+3{x}^{2}-3x+k=\left( x+1 \right)\left( {x}^{2}+ax+b \right)={x}^{3}+\left( a+1 \right){x}^{2}+\left( a+b \right)x+b$．

  比较同次幂系数得$\begin{cases}a+1=3 \\ a+b=-3 \\ k=b \end{cases}$，

  ∴$\begin{cases}a=2 \\ b=-5 \\ k=-5 \end{cases}$．

  故$k=-5$．

如果${x}^{3}+a{x}^{2}+bx+8$有两个因式$x+1$和$x+2$，则$a+b=$$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$21$

• 依题意可设${x}^{3}+a{x}^{2}+bx+8=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+c \right)$，展开对比各对应项系数可知$\begin{cases}a=7 \\ b=14 \\ c=4 \end{cases}$，故$a+b=21$．

【答案】$2$.

• $12{x}^{2}-10xy+2{y}^{2}=(3x-y)(4x-2y)$，

  ∴设$12{x}^{2}-10xy+2{y}^{2}+11x-5y+m=\left( 3x-y+a \right)\left( 4x-2y+b \right)$

  ∴$\begin{cases}4a+3b=11 \\ 2a+b=5 \\ ab=m \\ \end{cases}$，

  ∴$m=2$．

若多项式${x}^{2}+xy-2{y}^{2}+8x+10y+k$可以分解为两个关于$x$，$y$的一次因式的乘积，则$k=$$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$12$

• 观察形式可设原式$=\left( x-y+a \right)\left( x+2y+b \right)$，展开比较对应项系数可知$a=6$，$b=2$，故$k=ab=12$．

【答案】$m=-11$，$n=4$．

• 设${x}^{4}-5{x}^{3}+11{x}^{2}+mx+n=\left( {x}^{2}-2x+1 \right)\left( {x}^{2}+kx+n \right)$

  展开后得

  ${x}^{4}-5{x}^{3}+11{x}^{2}+mx+n={x}^{4}+\left( k-2 \right){x}^{3}+\left( n-2k+1 \right){x}^{2}+\left( k-2n \right)x+n$

  由左右系数相等，得$\begin{cases}k-2=-5 \\ n-2k+1=11 \\ m=k-2n \\\end{cases}$，

  解得$\begin{cases}k=-3 \\ m=-11 \\ n=4 \\\end{cases}$．

已知多项式$4{x}^{4}+4{x}^{3}+a{x}^{2}-6x+b$是完全平方式，求$a$和$b$的值．

【答案】$a=-11$，$b=9$．

• 不妨设原式$={\left( 2{x}^{2}+mx+n \right)}^{2}$，

  展开得$4{x}^{4}+4{x}^{3}+a{x}^{2}-6x+b$

  $=4{x}^{4}+4m{x}^{3}+({m}^{2}+4n){x}^{2}+2mnx+{n}^{2}$，

  比较系数，得$\begin{cases}4m=4 \\ {m}^{2}+4n=a \\ 2mn=-6 \\ {n}^{2}=b \\\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1 \\ n=-3 \ a=-11 \\ b=9 \\\end{cases}$．

已知$x^2-x-1$是$ax^3+bx^2+1$的一个因式，则$b$的值为$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$-2$

• 由题意，设$ax^3+bx^2+1=(x^2-x-1)(ax-1)$，

  即$ax^3+bx^2+1=ax^3+(-a-1)x^2+(-a+1)x+1$，

  比较对应项的系数得$\begin{cases}b=-a-1 \\ 0=-a+1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=-2 \end{cases}$．

  故选$\rm A$．

若${x}^{2}+2x+3$是${x}^{4}+a{x}^{2}+b$的一个因式，$a$的值为$\underline{\hspace{3em}}$，$b$的值为$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$2$、$9$

• 令${x}^{4}+a{x}^{2}+b=({x}^{2}+2x+3)({x}^{2}+mx+n)={x}^{4}+(2+m){x}^{3}+(3+2m+n){x}^{2}+(3m+2n)x+3n$

  有$\begin{cases}2+m =0 \\ 3+2m+n =a \\ 3m+2n =0 \\ 3n =b \end{cases}$，解得：$\begin{cases}m=-2 \\ n=3 \\ a=2 \\ b=9 \end{cases}$．

已知${x}^{2}-3x-1$是${x}^{4}-a{x}^{3}+7{x}^{2}+bx-2$的一个因式，则$ab=\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$-20$

• 设${x}^{4}-a{x}^{3}+7{x}^{2}+bx-2=({x}^{2}-3x-1)({x}^{2}+mx+2)$，

  所以${x}^{4}-a{x}^{3}+7{x}^{2}+bx-2={x}^{4}+(m-3){x}^{3}+(1-3m){x}^{2}+(-6-m)x-2$，

  比较对应项系数得$\begin{cases}m-3=-a \\ 1-3m=7 \\ -6-m=b \\ \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=5 \\ b=-4 \\ m=-2 \\ \end{cases}$，所以$ab=-20$．

  故选$\text{A}$．

已知多项式$2{x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+3x-3$能被多项式${x}^{2}-3$整除，求$a，b$及因式分解结果.

【答案】$\begin{cases}a=-1 \\ b=-5 \\\end{cases}$，原式$=\left( {x}^{2}-3 \right)\left( 2{x}^{2}-x+1 \right)$．

• 由题意，设$2{x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+3x-3=\left( {x}^{2}-3 \right)\left( 2{x}^{2}+mx+1 \right)$

  展开得$2{x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+3x-3=2{x}^{4}+m{x}^{3}-5{x}^{2}-3mx-3$

  比较对应系数得$\begin{cases}a=m \\ b=-5 \\ 3=-3m \\\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1 \\ a=-1 \\ b=-5 \\\end{cases}$，

  $\therefore $原式$=\left( {x}^{2}-3 \right)\left( 2{x}^{2}-x+1 \right)$．

  故答案为：$\begin{cases}a=-1 \\ b=-5 \\\end{cases}$，原式$=\left( {x}^{2}-3 \right)\left( 2{x}^{2}-x+1 \right)$．

分解因式：$x^4+x^3+x^2+2$．

【答案】$(x^2+2x+2)(x^2-x+1)$．

• 设$f(x)=x^4+x^3+x^2+2$，

  因为$f(\pm1)\ne0$，$f(\pm2)\ne0$，所以$f(x)$没有整系数一次因式，

  设$f(x)=(x^2+mx+n)(x^2+px+q)$，

  $=x^4+(m+p)x^3+(mp+n+q)x^2+(mq+np)x+nq$，$m$、$n$、$p$、$q$均为整数，

  比较对应项系数，得到

  $\begin{cases}m+p=1 \\ mp+n+q=1 \\ mq+np=0 \\ nq=2 \\\end{cases}$，

  利用整数的特性，可以解得

  $\begin{cases}m=2 \\ p=-1 \\ n=2 \\ q=1 \\\end{cases}$，

  所以$x^4+x^3+x^2+2=(x^2+2x+2)(x^2-x+1)$．

因式分解：${x}^{4}-3{x}^{2}-4x-3$．

【答案】$({x}^{2}+x+1)({x}^{2}-x-3)$

• 原式的有理根只能为$\pm 1$，$\pm 3$，

  经检验都不能使得原式为$0$，

  所以原式不含有一次因式，只含有二次因式，

  所以令${x}^{4}-3{x}^{2}-4x-3=({x}^{2}+mx+1)({x}^{2}+nx-3)$

  或${x}^{4}-3{x}^{2}-4x-3=({x}^{2}+mx-1)({x}^{2}+nx+3)$

  当${x}^{4}-3{x}^{2}-4x-3=({x}^{2}+mx+1)({x}^{2}+nx-3)$时，

  则由题得$\begin{cases}m+n=0 \\ mn-2=-3 \\ -3m+n=-4 \end{cases}$，

  解得$\begin{cases}m=1 \\ n=-1 \end{cases}$，

  由于分解是唯一的，所以原式$=({x}^{2}+x+1)({x}^{2}-x-3)$．

分解因式：${x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}-x+3$．

【答案】$\left( {x}^{2}-x+1 \right)\left( {x}^{2}+2x+3 \right)$．

• 因为$f\left( \pm 1 \right)\ne 0$，$f\left( \pm 3 \right)\ne 0$，所以原式没有一次因式．

  设${x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}-x+3$ $=\left( {x}^{2}+ax+b \right)\left( {x}^{2}+cx+d \right)$ ①

  其中$a$、$b$、$c$、$d$为整数．

  比较①式左右两边的系数可得

  $\begin{cases}a+c=1 \\ b+d+ac=2 \\ bc+ad=-1 \\ bd=3 \\\end{cases}$，

  因为$a$、$b$、$c$、$d$为整数．所以

  $\begin{cases}b=1 \\ d=3 \\\end{cases}$或$\begin{cases}b=-1 \\ d=-3 \\\end{cases}$（由对称的思想舍掉$\begin{cases}b=3 \\ d=1 \\\end{cases}$，$\begin{cases}b=-3 \\ d=-1 \\\end{cases}$）．

  由$\begin{cases}b=1 \\ d=3 \\\end{cases}$知，$c+3a=-1$，

  所以可知$2a=-2$，$a=-1$，也可知$c=2$．

  因此${x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}-x+3$$=\left( {x}^{2}-x+1 \right)\left( {x}^{2}+2x+3 \right)$

  同理可以讨论$\begin{cases}b=-1 \\ d=-3 \\\end{cases}$，可知此时无解．

  $\therefore {x}^{4}+{x}^{3}+2{x}^{2}-x+3$$=\left( {x}^{2}-x+1 \right)\left( {x}^{2}+2x+3 \right)$．