【小奥】问题40 $P$是正六边形$ABCDEF$内任意一点

问题

如图，$P$是正六边形$ABCDEF$内任意一点，四边形$APFL$、$FPEK$、$EPDJ$、$DPCI$、$CPBH$、$BPAG$都是平行四边形，已知阴影部分的面积是$2021$，请问大六边形$GHIJKL$的面积是多少？【此题出自武汉 花园】

解析

如图，因为四边形$APFL$、$FPEK$、$EPDJ$、$DPCI$、$CPBH$、$BPAG$都是平行四边形，易得
$$S_{\triangle AGL}=S_{\triangle PBF}$$

$$S_{\triangle CHI}=S_{\triangle PBD}$$

$$S_{\triangle EJK}=S_{\triangle PDF}$$

所以

$$S_{\triangle AGL}+S_{\triangle CHI}+S_{\triangle EJK}=S_{\triangle BDF}=\dfrac{1}{2}S_{ABCDEF}$$

同理

$$S_{\triangle BHG}+S_{\triangle DJI}+S_{\triangle FKL}=S_{\triangle ACE}=\dfrac{1}{2}S_{ABCDEF}$$

所以$S_{GHIJKL}=3\times 2021=6063$．