勾股定理及其证明

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。勾股定理的别称有很多：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”

如果直角三角形两直角边长度分别为$a$和$b$，斜边长度为$c$，那么$a^2+b^2=c^2$。

1. 历史渊源

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

西方：毕达哥拉斯定理

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前 $550$ 年首先发现的。相传他发现这个定理后，杀了一百头牛来庆祝，所以又称“百牛定理”。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（命题 $47$）中给出一个很好的证明。

$$S_{ABDW}=2S_{\triangle AWC}=2S_{\triangle ABP}=S_{APYX}$$
欧几里得通过添加辅助线，证明了以两直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。

中国：商高与赵爽

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”
商高回答说：“…当直角三角形’矩’得到的一条直角边’勾’等于 $3$，另一条直角边’股’等于 $4$ 的时候，那么它的斜边’弦’就必定是 $5$。”

勾广三，股修四，径隅五

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。周公与商高的对话确定在公元前 $1100$ 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

在稍后一点的《九章算术》一书（约公元 $50$ 至 $100$ 年间）的《勾股章》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”

2. 经典证明赏析

勾股定理迄今为止大约有 $500$ 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

赵爽：勾股圆方图

最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。

$$\begin{array}{l}
\because (b-a)^2+\dfrac{1}{2}ab\times 4=c^2\\
\therefore a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

刘徽：青出朱入图

稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，体现了“形数统一”的思想方法。

青出=青入，朱出=朱入

达芬奇证法

文艺复兴时期的全才达芬奇也给出了一个巧妙的证明。

$$\begin{array}{l}
\because \quad a^2+b^2+\dfrac{1}{2}ab\times 2=c^2+ \dfrac{1}{2}ab\times 2 \\
\therefore \quad a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

总统证法

美国总统伽菲尔德（Garfield）证明勾股定理的故事也颇具色彩。1876年，还是议员的他利用梯形面积公式给出了一个极其简洁的代数证明。

$$\begin{array}{l}
\because \quad \dfrac{1}{2}(a+b)\times (a+b)=\dfrac{1}{2}c^2+\dfrac{1}{2}ab\times 2 \\
\therefore \quad (a+b)^2=c^2+2ab \\
\therefore \quad a^2+2ab+b^2=c^2+2ab \\
\therefore \quad a^2+b^2=c^2
\end{array}$$

3. 必须记住的“勾股数”

在解决几何问题时，记住一些常见的整数勾股数（满足 $a^2+b^2=c^2$ 的三个正整数）可以大大提高解题速度。

如果一个三角形的三边长是 $3,4,5$ 的倍数（例如 $1.5, 2, 2.5$），它依然是直角三角形。

4. 逆定理与知识拓展

勾股定理的逆定理

勾股定理是知道“它是直角三角形”，推出“边长的关系”。
反过来，如果知道“边长的关系”满足 $a^2+b^2=c^2$，我们也可以断定“这是一个直角三角形”。这就是勾股定理的逆定理。古埃及人利用“绳索打结法”（3-4-5）来定出直角，就是利用了这个原理。

知识拓展：费马大定理

勾股定理讨论的是 $a^2+b^2=c^2$ 的整数解。如果把指数 $2$ 换成 $3$、$4$ 或者更大的整数 $n$（$a^n+b^n=c^n$），还有没有整数解呢？
17世纪的数学家费马提出了一个猜想：当 $n > 2$ 时，没有正整数解。
这个问题困扰了人类三百多年，直到 1995 年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。这便是著名的“费马大定理”。

5. 数学故事：“罪大恶极”的数学家

以下故事摘自萨苏的文章，讲述了一段关于高考命题的趣闻。

谈到数学家，有位朋友提起了山东大学老校长潘承洞先生。潘承洞和他的弟弟潘承彪都在解析数论方面有着出色的成就，堪称双璧。

不过，这里要说的是潘承彪先生在数学界一个“罪大恶极”的秘密——虽然这其实是教育部的“锅”。

那一年，教育部请潘承彪教授出高考题。通常高考出题是很多教授一起来的，潘教授只出了一道题。刚跟一帮数学大牛研究完哥德巴赫猜想，忽然让他给中学生出题，潘先生很有自知之明，知道不能出太难的。他琢磨着越简单越好吧，就出了一道特别简单的题：

请叙述并证明勾股定理。

结果，考场上的孩子们都懵了。这道题答对的只有不到 $1\%$。
为什么？因为对高考的学生来说，勾股定理就像“地球是圆的”一样自然，太简单了，简单到根本没有几个学生还记得这东西怎么证！

十年寒窗，刷了无数难题怪题，最后却倒在了一个最基础的定理证明上。下来以后，学生老师都在议论。那些天，潘先生总是有些灰溜溜的，对议论高考的人很敏感。

这个故事告诉我们：大道至简，回归课本和基础原理，往往才是学习数学的最高境界。

（图为 E.S. Loomis 收集的《勾股定理命题》一书，内含300多种证法）