2023寒兴趣三阶第3讲 一次方程和方程组的解法

【答案】$\text{B}$

• 由题意，得
  $\begin{cases} k^2-4=0 \\ k-2\ne 0 \\2-3k\ne 0\end{cases}$，
  $\therefore k=-2$，
  故选：$\text{B}$．

【答案】$-1$

• 由一元一次方程的定义，
  可知$\left| a \right|=1$，且$a-1\ne 0$，
  解得$a=-1$．

【答案】（1）$x=\dfrac{5}{13}$．（2）$x=-8$．（3）$x=\dfrac{1}{59}$．

• （1）如下
• $\begin{align}1-0.5x-\left(0.2x-1\right)&=15\left(0.3x\right)\\
  x&=\dfrac{5}{13}\end{align}$
  （2）如下
  $\begin{align}0.1x-0.4-1.2 &=4\left(0.2x+1\right)\\
  x=-8\end{align}$
  （3）如下
  $\begin{align}3\left(7x-1\right) &=4\left(1-2x\right)-6\left(5x+1\right)\\
  x=\dfrac{1}{59}\end{align}$

【答案】（1）$x=1$；（2）$x=-\dfrac{22}{9}$．

• （1）如下
  $\begin{align}
  1-\left[{1-\left(1-x\right)-x} \right]-x &=x-1 \\
  1-\left(1-x\right)-x &=2-2x \\
  1-x &=x-1 \\
  x &=1
  \end{align}$
  （2）如下
  $\begin{align}
  x-\dfrac{1}{3}\left[x-\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{2}{3} \right) \right]-\dfrac{3}{2} &=2x+\dfrac{3}{2} \\
  \dfrac{1}{3}\left[x-\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\right] &=-x-3 \\
  x-\dfrac{1}{4}\left( x-\dfrac{2}{3} \right) &=-3x-9 \\
  \dfrac{1}{4}\left( x-\dfrac{2}{3} \right) &=4x+9 \\
  x-\dfrac{2}{3} &=16x+36 \\
  -\dfrac{110}{3} &=15x \\
  x &=-\dfrac{22}{9} \\
  \end{align}$

【答案】$x=\dfrac{34}{3}$

• 这一方程在变换过程中，应将$\left( \dfrac{3}{5}x-7 \right)$视为一个整体．方程两边同时乘以$6$，得
  $2-3\left(\dfrac{3}{5}x-7\right)=3-2\left(7-\dfrac{3}{5}x\right)$，$-3\left(\dfrac{3}{5}x-7\right)+2\left(7-\dfrac{3}{5}x\right)=3-2$，$-3\left(\dfrac{3}{5}x-7\right)-2\left(\dfrac{3}{5}x-7\right)=1$，
  $-5\left(\dfrac{3}{5}x-7\right)=1$，即$\dfrac{3}{5}x=\dfrac{34}{5}$，解得$x=\dfrac{34}{3}$．

【答案】$ x=1$．

• $x-1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{x}{2015}-\dfrac{1}{2015}+\dfrac{x}{2016}-\dfrac{1}{2016}=0$，
  $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\cdots +\dfrac{x}{2015}+\dfrac{x}{2016}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{2015}+\dfrac{1}{2016}$，
  $ x=1$．

【答案】$x=\dfrac{2017}{2}$．

• $x\left( \dfrac{2}{1\times 2}+\dfrac{2}{2\times 3}+\dfrac{2}{3\times 4}+\cdots +\dfrac{2}{2016\times 2017} \right)=2016$
  $x=\dfrac{2017}{2}$．

【答案】$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \end{cases}$

• 将$\begin{cases}x=3 \\ y=4 \end{cases}$ 代入原方程组得$\begin{cases}3a_{1}+4b_{1}=c_{1} ①\\ 3a_{2}+4b_{2}=c_{2} ② \end{cases}$，
  在$\begin{cases}3a_{1}x+2b_{1}y=5c_{1} ③\\ 3a_{2}x+2b_{2}y=5c_{2} ④ \end{cases}$中将①代入③中可以整理为$3a_{1}x+2b_{1}y=c_{1}+4c_{1}=c_{1}+4\left( 3a_{1}+4b_{1} \right)$，
  即$3a_{1}x+2b_{1}y=c_{1}+12a_{1}+16b_{1}$ ，
  整理得$a_{1}\left( 3x-12 \right)+b_{1}\left( 2y-16 \right)=c_{1}$ ，
  由第一个方程组可得：$\begin{cases}3x-12=3 \\ 2y-16=4 \end{cases}$ ，
  解得$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \end{cases}$．
  把方程组$\begin{cases}3a_{1}x+2b_{1}y=5c_{1} \\ 3a_{2}x+2b_{2}y=5c_{2} \\\end{cases}$的两个方程的两边都除以$5$，
  得$\begin{cases}\dfrac{3}{5}a_{1}x+\dfrac{2}{5}b_{1}y=c_{1} \\ \dfrac{3}{5}a_{2}x+\dfrac{2}{5}b_{2}y=c_{2} \\\end{cases}$，
  令$\begin{cases}m=\dfrac{3}{5}x \\ n=\dfrac{2}{5}y \\\end{cases}$，
  则得$\begin{cases}a_{1}m+b_{1}n=c_{1} \\ a_{2}m+b_{2}n=c_{2} \\\end{cases}$，
  由已知得，此方程组的解为$\begin{cases}m=3 \\ n=4 \\\end{cases}$，
  即$\begin{cases}\dfrac{3}{5}x=3 \\ \dfrac{2}{5}y=4 \\\end{cases}$，
  ∴$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \\\end{cases}$．
  故答案为：$\begin{cases}x=5 \\ y=10 \\\end{cases}$．

【答案】（1）$\begin{cases}m=6 \\ n=12 \end{cases}$．
$\qquad\qquad$（2）$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{3}{2} \end{cases}$．
$\qquad\qquad$（3）$\begin{cases}x=-\dfrac{38}{105} \\ y=-\dfrac{45}{7} \end{cases}$．

• （1）$\begin{cases}4m-3n=-12 \\ 3m+2n=42 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}m=6 \\ n=12 \end{cases}$．
  （2）$\begin{cases}3\left( x+y \right)-2\left( x-y \right)=7 \\ 3\left( x-y \right)-2\left( x+y \right)=-8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{3}{2} \end{cases}$．
  （3）$\begin{cases}5\left( 3x-2 \right)-4\left( 2y-1 \right)=40 \\ 20\left( 3x+2 \right)+\left( 3y+1 \right)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=-\dfrac{38}{105} \\ y=-\dfrac{45}{7} \end{cases}$．

【答案】$\begin{cases}x=1.5 \\ y=0.5 \\\end{cases}$．

• 两方程相减，得：$x-y=1$①，
  两方程相加，得：$y+x=2$②，
  ①+②得：$x=1.5$；
  ②-①得：$y=0.5$，
  ∴方程的解为：$\begin{cases}x=1.5 \\ y=0.5 \\\end{cases}$．

【答案】（1）$\begin{cases}x=6 \\ y=7 \\ z=2 \end{cases}$．
$\qquad\qquad$（2）$\begin{cases}x=3 \\ y=3 \\ z=7 \end{cases}$．
$\qquad\qquad$（3）$\begin{cases}x=4 \\ y=6 \\ z=8 \end{cases}$．

• （1）$x+y+z=15\Rightarrow \begin{cases}x=6 \\ y=7 \\ z=2 \end{cases}$．
  （2）$x-y=0\Rightarrow \begin{cases}x=3 \\ y=3 \\ z=7 \end{cases}$．
  （3）$6x=4y=3z\Rightarrow \begin{cases}x=4 \\ y=6 \\ z=8 \end{cases}$．

【答案】（1）$x=\dfrac{41}{160}$．
$\qquad\qquad$（2）$x=14.275$．
$\qquad\qquad$（3）$x=-7$．

• 略

【答案】（1）$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=3 \\\end{cases}$．
$\qquad\qquad$（2）$\begin{cases}x=\dfrac{5}{3} \\ y=-\dfrac{1}{6} \\\end{cases}$．
$\qquad\qquad$（3）$\begin{cases}x=2 \\ y=4 \\\end{cases}$．
$\qquad\qquad$（4）$\begin{cases}x=1 \\ y=1 \\\end{cases}$．

• （1）化简得$\begin{cases}14x-27y=-74①\\ 36x-23y=-51② \\\end{cases}$
  由①得$x=\dfrac{27y-74}{14}$③，
  把③代入②得$36\cdot\dfrac{27y-74}{14}-23y=-51$,
  解得$y=3$，
  ∴$x=\dfrac{27\times3-74}{14}=\dfrac{1}{2}$．
  ∴$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2} \\ y=3 \\\end{cases}$是此方程组的解．
  （2）令$\dfrac{1}{x-1}=m$，$\dfrac{1}{2y-1}=n$，
  ∴$\begin{cases}m+\dfrac{2}{3}n=1①\\\dfrac{1}{2}m+n=0②\\\end{cases}$
  由②得$n=-\dfrac{1}{2}m$，
  ∴$m-\dfrac{1}{3}m=1$．
  ∴$m=\dfrac{3}{2}$．
  ∴$n=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}$．
  ∴$x=\dfrac{5}{3}$，$y=-\dfrac{1}{6}$．
  ∴$\begin{cases}x=\dfrac{5}{3} \\ y=-\dfrac{1}{6} \\\end{cases}$是此方程组的解．
  （3）$\begin{cases}8x+5y=36①\\4x+7y=36②\\\end{cases}$
  ②$\times2$得$8x+14y=72$③，
  ③$-$①得$9y=36$
  $y=4$，
  把$y=4$代入①得$8x+20=36$，
  ∴$x=2$．
  ∴$\begin{cases}x=2 \\ y=4 \\\end{cases}$是此方程组的解．
  （4）$\begin{cases}107x+40y=147①\\ 170x+271y=441② \\\end{cases}$
  ①$\times3$得$321x+120y=441$③，
  ③$-$②得$151x-151y=0$，
  ∴$x=y$．
  ∴$107x+40x=147$
  $x=1$．
  ∴$x=y=1$．
  ∴$\begin{cases}x=1 \\ y=1 \\\end{cases}$是此方程组的解．

【答案】$x_{1}=x_{3}=\cdots =x_{2021}=1011$，$x_{2}=x_{4}=\cdots =x_{2020}=-1010$．

• 略

【答案】$-84$．

• $\begin{cases}x_{1}+x_{4}+x_{6}+x_{7}=39&① \\ x_{2}+x_{4}+x_{5}+x_{7}=49&② \\ x_{3}+x_{5}+x_{6}+x_{7}=41&③ \\ x_{4}+x_{7}=13&④ \\ x_{5}+x_{7}=14&⑤ \\ x_{6}+x_{7}=9&⑥ \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}=9&⑦ \\\end{cases}$
  用①式$-$④式，则
  $x_{1}+x_{6}=39-13=26$ ⑧
  用②式$-$⑤式，则
  $x_{2}+x_{4}=49-14=35$ ⑨
  用③式$-$⑥式，则
  $x_{3}+x_{5}=41-9=32$ ⑩
  ⑧$+$⑨$+$⑩$=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=26$
  $+35+32=93$⑪
  用⑪式$-$⑦式
  $-x_{7}=93-9=84$
  ∴$x_{7}=-84$．

【答案】$126$．

• $\begin{cases}x_{1}=0 \\ x_{2}=6 \\ x_{3}=7 \\ x_{4}=3 \\ x_{5}=-1 \\\end{cases}$，$x_{2}x_{3}x_{4}=126$．

【答案】$-\dfrac{14}{15}$．

• $\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1 \\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2 \\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$；
  $x=\dfrac{2}{3}$，$y=-2$，$z=\dfrac{2}{5}$．
  则$x+y+z=-\dfrac{14}{15}$．

【答案】$236$．

• 先用$x_{1}$和$x_{2}$表示$x_{3}$，$x_{4}$，$\cdots $，$x_{7}$，得
  $\begin{cases}x_{3}=x_{1}+x_{2} \\ x_{4}=x_{2}+x_{3}=x_{1}+2x_{2} \\ x_{5}=x_{3}+x_{4}=2x_{1}+3x_{2} \\ x_{6}=x_{4}+x_{5}=3x_{1}+5x_{2} \\ x_{7}=x_{5}+x_{6}=5x_{1}+8x_{2} \end{cases}$，
  因此$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}=13x_{1}+20x_{2}=2010$，
  于是得$x_{2}=\dfrac{2010-13x_{1}}{20}=100+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{13}{20}x_{1} \right)$，
  因为$x_{2}$是自然数，
  所以$\dfrac{1}{2}-\dfrac{13}{20}x_{1}$是整数，
  所以$x_{1}$是$10$的奇数倍．
  又因为$x_{1}<{}x_{2}$，故有三种解：$x_{1}=10$，$x_{2}=94$或$x_{1}=30$，$x_{2}=81$或$x_{1}=50$，$x_{2}=68$， 所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}$的最大值$=2\left(x_{1}+x_{2}\right)$的最大值$=236$．