【小奥】问题37 正方形外四个正三角形

问题

如图，一个正方形内部画了$4$条圆弧，外部画了$4$个正三角形，已知正方形的边长为$6$，求阴影部分的面积．

解析

如图，求出一块阴影的面积即可，将正三角形$DEC$平移到正三角形$ABF$，易得

$$S_{\mathrm{△}ABF}+S_{\mathrm{△}DFC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6^2=18$$

再求出两个小弓形的面积

$$S_{\mathrm{弓}}={\displaystyle \frac{30}{360}}\times \pi \times 6^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times 3=0.42$$

所以一块阴影的面积为$18-0.42\times 2=17.16$，所以

$$S_{\mathrm{阴}\mathrm{影}}=17.16\times 4=68.64$$．