2023寒兴趣三阶第5讲 绝对值的化简

①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；

②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；

③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；

④只有负数的绝对值等于它的相反数．

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

【答案】A

• $4$个全错，选择$\text{A}$

  ①中数为负数时，绝对值由大变小

  ②中最小的非负数为$0 $

  ③两数互为相反数时，绝对值相等

  ④$0$的绝对值也等于它的相反数．

若$ab<{}|ab|$，则下列结论正确的是（ ）． A. $a<{}0$，$b<{}0$ B. $a>0$，$b<{}0$ C. $a<{}0$，$b>0$
D. $ab<{}0$

【答案】D

• 答案$\text{BC}$不完善，选择$\text{D}$．

【答案】D

• 不能判断$a$、$b$的正负，故选$\rm {D}$．

【答案】D

• 由分析可知$a$，$b$中的较小数$b$一定是负数．

【答案】$36864$

• 只要$\left| x \right|<{}3$，$\left| y \right|<{}1$和$\left| z \right|<{}4$中至少有一个成立， 则$\left| x-2y+z \right|\leqslant \left| x \right|+2\left| y \right|+\left| z \right|<{}9$与$\left| x-2y+z \right|=9$不符， 所以只能$\left| x \right|=3$，$\left| y \right|=1$且$\left| z \right|=4$才能使$\left| x-2y+z \right|=9$成立， 所以${{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{6}}={{\left| x \right|}^{2}}{{\left| y \right|}^{4}}{{\left| z \right|}^{6}}={{3}^{2}}\times {{1}^{4}}\times {{4}^{6}}=9\times 1\times 4096=36864$．

已知$|x-y|=y-x$，且$|x|=3$，$|y|=4$，求${{(x+y)}^{3}}$的值．

【答案】$343$或$1$．

• $|x-y|=y-x$，$x-y\mathsf{\leqslant }0$，且$x=\pm 3$，$y=\pm 4$，

  当$x=3$，$y=4$，$x-y\mathsf{\leqslant }0$，所以${{(x+y)}^{3}}={{7}^{3}}=343$；

  当$x=3$，$y=-4$，$x-y>0$，不满足题意；

  当$x=-3$，$y=4$，$x-y\mathsf{\leqslant }0$，所以${{(x+y)}^{3}}={{1}^{3}}=1$；

  当$x=-3$，$y=-4$，$x-y>0$，不满足题意．

解下列绝对值方程：
(1)$|5x+6|=6x-5$．
(2)$\dfrac{|x+1|-1}{2}-1=\dfrac{2-|x+1|}{3}$．
(3)$||2x-1|-1|=2$．
(4)$|2x-1|=x-2$．

【答案】（1）$x=11$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x=\dfrac{8}{5}$或$x=-\dfrac{18}{5}$．
$\hspace{4.3em}$（3）$x=-1$或$x=2$．
$\hspace{4.3em}$（4）无解．

• （1）
  （2）
  （3）
  （4）

【答案】$1$或$7$

• 如图，由题意$\left| a \right|=1+\left| b \right|$，所以$3\left| a \right|=3+3\left| b \right|=4\left| b \right|$，

  所以$\left| b \right|=3$，$b=\pm 3$．$\left| a \right|=1+\left| b \right|=4$，所以$a=\pm 4$，故$\left| a-b \right|=1$或$7$．

  

已知$a$、$b$、$c$、$d$都是整数，且$\left| a+b \right|+\left| b+c \right|+\left| c+d \right|+\left| d+a \right|=2$，则$\left| a+d \right|=$$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$0$或$1$

• 绝对值具有非负性，且$a$、$b$、$c$、$d$都是整数，那么

  （1）$2=2+0+0+0$，四个绝对值具有对称性，不妨设$|a+b|=2$，则

  $b+c=0$、$c+d=0$、$d+a=0$，易得$a+b=0$，矛盾，故此情况不成立

  （2）$2=1+1+0+0$，故$|a+d|$只能为$0$或$1$

  若$|a+d|=0$，构造：$a=0$、$b=1$、$c=0$、$d=0$，成立

  若$|a+d|=1$，构造：$a=0$、$b=0$、$c=0$、$d=1$，成立

  故答案为：$1$或$0$．

已知$x <0< z$，$xy>0$，$\left| y \right|>\left| z \right|>\left| x \right|$，那么$\left| x+z \right|+\left| y+z \right|-\left| x-y \right|$的值（ ）．
A. 是正数
B. 是负数
C. 是零
D. 不能确定符号

【答案】C

• 由已知条件，可以数轴上标出$x$，$y$，$z$三数，如图．

  

  所以$x+z>0$，$y+z < 0$，$x-y>0$．

  所以原式$=x+z-y-z-x+y=0$．

  所以选$\text{C}$．

若$m=-1998$，则$\left| {{m}^{2}}+11m-999 \right|-\left| {{m}^{2}}+22m+999 \right|+20=$$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$20000$

• 当$m=-1998$时，有

  ${{m}^{2}}+11m-999={{(m+\dfrac{11}{2})}^{2}}-999-{{(\dfrac{11}{2})}^{2}}>0$，

  ${{m}^{2}}+22m+999={{(m+11)}^{2}}+999-{{11}^{2}}>0$．

  ∴$\left| {{m}^{2}}+11m-999 \right|-\left| {{m}^{2}}+22m+999 \right|+20$

  $={{m}^{2}}+11m-999-({{m}^{2}}+22m+999)+20$

  $=-11m-1998+20$

  $=20000$．

若$x$，$y$，$z$为整数，且${{\left| x-y \right|}^{2003}}+{{\left| z-x \right|}^{2003}}=1$，则$\left| z-x \right|+\left| x-y \right|+\left| y-z \right|$的值是多少？

【答案】$2$．

• $\left| x-y \right|\geqslant 0$，${{\left| x-y \right|}^{2003}}\geqslant 0$，同理${{\left| z-x \right|}^{2003}}\geqslant 0$，所以一个为$0$，一个为$1$，也就是说$x$，$y$，$z$有两个相同，另一个和他们相差$1$．故三者两两取差的绝对值应该有$2$个$1$和$1$个$0$，所以$\left| z-x \right|+\left| x-y \right|+\left| y-z \right|=2$．当然也可以分类讨论，更利于学生接受．

【答案】$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$．

• 因为$|ab | $和$|a+b|$都是非负，

  所以有$\begin{cases}|ab|=1 \ |a+b|=0 \ \end{cases}$或$\begin{cases}|ab|=0 \ |a+b|=1 \ \end{cases}$，

  由$\begin{cases}|ab|=1 \ |a+b|=0 \ \end{cases}$可判断$a$，$b$为相反数，

  所以$|ab|={{a}^{2}}={{b}^{2}}$，

  所以有解$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$和$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$，

  由$\begin{cases}|ab|=0 \ |a+b|=1 \ \end{cases}$可判断$a=0$或$b=0$，对应的另一个数只能是$1$或$-1$，

  所以有解$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$，

  $\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$．

  故答案为$\begin{cases}a=1 \ b=-1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=-1 \ b=1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=0 \ b=1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=0 \ b=-1 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=1 \ b=0 \ \end{cases}$，$\begin{cases}a=-1 \ b=0 \ \end{cases}$．

解下列绝对值方程：
(1)$|4x+3|=2x+9$．
(2)$|x+3|+|3-x|=\dfrac{9}{2}|x|+5$．
(3)$|x-|3x+1||=4$．

【答案】（1）$x=3$或$x=-2$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x=\dfrac{2}{9}$或$x=-\dfrac{2}{9}$．
$\hspace{4.3em}$（3）$x=\dfrac{3}{2}$或$x=-\dfrac{5}{4}$．

• （1）
  （2）
  （3）

【答案】证明过程见解析．

• $\left| x-2 \right|=0$可得到$x=2$，

  $\left| x-2 \right|-1=0$可得到$x=1$，$x=3$．

  所以应该在$x\leqslant 1$，$1 < x\leqslant 2$，$2 < x\leqslant 3$，$x>3$分段讨论．

  当$x\leqslant 1$时，左边$=\left| 2-x-1 \right|=1-x$，右边$=3-x+x-2+1-x-1=1-x$．所以左边=右边．

  当$1 < x\leqslant 2$时，左边$=\left| 2-x-1 \right|=x-1$．右边$=3-x+x-2+x-1-1=x-1$．所以左边=右边． 当$2 < x\leqslant 3$时，左边$=\left| x-2-1 \right|=3-x$．右边$=3-x-x+2+x-1-1=3-x$．所以左边=右边． 当$x>3$时，左边$=\left| x-2-1 \right|=x-3$．右边$=x-3-x+2+x-1-1=x-3$．所以左边=右边．

  所以对任意$x$都满足$\left| \left| x-2 \right|-1 \right|=\left| x-3 \right|-\left| x-2 \right|+\left| x-1 \right|-1$．

解方程：$|x-1|+|x-2|+|x-3|=6$．

【答案】$x=0$或$x=4$

• $x\leqslant 1$时，$x+1-x+2-x+3=6$，

  解得$x=0$，

  $1{}3$时，$x-1+x-2+x-3=6$，

  解得$x=4$．

  综上所述$x=0$或$x=4$．

解下列方程：
(1)$|y+3|-|10-y|=3$．
(2)$|2x-1|-|2x-7|=0$．

【答案】（1）$y=5$．
$\hspace{4.3em}$（2）$x=2$．

• （1）
  （2）

【答案】$6$

• 利用绝对值的几何意义来解，$|x+1|+|x-2|<{}7$的整数解表示数轴上到$-1$和$2$的距离之和小于$7$的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$共$6$个． 故答案为：$6$．

解下列方程：
(1)$|3x+1|-|3x-4|<{}1$． (2)$|4x-5|-4|x-3|>5$．

【答案】（1）$x<{}\dfrac{2}{3}$． $\hspace{4.3em}$（2）$x>\dfrac{11}{4}$．

• （1）
  （2）